语法分析器的功能

语法分析器是编译过程的核心部分。任务是在词法分析识别出的单词符号串的基础上，分析并判定程序的语法结构是否符合语法规则。

自上而下分析面临的问题

1. 左递归：$p->p\alpha |\beta$:会使程序陷入死循环，导致不可实现
2. 回溯：试探法就是穷举所有可能，一旦遇到不匹配就进行回溯，尝试下一种可能，这种方法只在理论上有意义，由于回溯穷举时间开销巨大所以不太具有实践意义。

LL（1）分析法

左递归的消除

直接左递归

直接左递归的形式：$$p->p\alpha |\beta$$ $\beta$不以$p$开头
这个推导：
$$p=>p\alpha =>p\alpha \alpha =>...=>\beta \alpha ....\alpha$$
从这个推到我们可以看出$p$推出的串是以$\beta$后面跟着若干个$\alpha$组成的串
这样我没对这个串做等价变换：
$$p->\beta p^{\prime }$$
$$p^{\prime }->\alpha p^{\prime }|ϵ$$
我们可以验证这个文法是不是和上面左递归形式的文法等价，我们对这个文法做推导看看会推导出哪些串
$$p=>\beta p^{\prime }=>\beta \alpha p^{\prime }=>...=>\beta \alpha ...\alpha$$
我们得到的串同样是以$\beta$开头后面接跟着若干个$\alpha$的串
我们对上面的结论进行推广：
对于P的全部产生式是
$$P->P{\alpha }_1|P{\alpha }_2|...|P{\alpha }_m|{\beta }_1|{\beta }_2|...|{\beta }_n,其中每个\alpha 都不以ϵ开头,每个\beta 都不以P开头$$
我们直接进行右递归改造：
$$P->{\beta }_{1}P’|{\beta }_{2}P’\Vert ...|bet{a}_{n}P’$$
$$P’->{\alpha }_{1}P’|{\alpha }_{2}P’|...|{\alpha }_m{P}^{\prime }$$

例子：
$E->E+T|T$
$T->T\ast F|F$
$F->(E)|i$
对于第一个式子有直接左递归我们进行消除，首先第一个式子最终的推导串是以$T$开头后面若干个{+T}我们进行等价变换：$$E->T{E}^{\prime }$$ $$E^{\prime }->+T{E}^{\prime }|ϵ$$
对于第二个式子也是直接左递归的我们也需要进行消除，首先第二个式子最终推导出的串的形式下以$F$开头后面若干个*F，我们根据这个进行等价变换
$T->F{T}^{\prime }$
$T^{\prime }\ast F{T}^{\prime }|ϵ$
最后一个式子没有直接左递归不用进行处理

非直接左递归

$$文法G(S)$$
$$S->Qc|c$$
$$Q->Rb|b$$
$$R->Sa|a$$
形式上这个文法并没有直接左递归，但是实际上这个文法是左递归的，进行如下推导就可以看出
$$S=>Qc=>Rbc=>Sabc$$
经过推导我们发现S实际上是左递归的
我们从上面的文法可以看出S是由Q定义的，Q是由R定义的，R是由S定义的，那么我们可以得到下图

$S->Qc|c$
$Q->Rb|b$
$R->Sa|a$
我们将Q中的R替换掉

$S->Qc|c$
$Q->Sab|ab|b$
$R->Sa|a$
再将S中的Q替换掉

$S->Sabc|abc|bc|c$
$Q->Sab|ab|b$
$R->Sa|a$

消除左递归的算法

1.把文法G的所有非终结符按任意一种顺序排列成$P_1{P}_2,...,P_n$按此顺序执行
2.
$FORi:=1TOnDO$
$BEGIN$
$FORj:=1TOi-1DO$
$ \quad \quad 把形如P_i->P_j \gamma 的规则改写成，P_i-> \delta_1 \gamma|\delta_2 \gamma|…|\delta_k \gamma (其中P_j -> \delta_1|\delta_2|…|\delta_k是关于P_j的所有规则) $

消除回溯、提左因子

FIRST

为了消除回溯，我们首先需要引入两个概念一个是FIRST集一个是FOLLW集
FIRST:
零G是一个不含左递归的文法，对G的所有非终结符的每一个候选$\alpha$定义它的终结首符集$FIRST(\alpha )$

那么当要求A匹配输入串时，A就能根据它所面临的第一个输入符号a，准确地指派某一个候选前去。这个候选就是那个首符集含$a$的$\alpha$

提左因子

很多文法都存在不满足所有候选式的终结首符集不两两相交的。我们采用提取公共左因子的办法
假设关于A的规则是:
$$A\to \delta {\beta }_1|\delta {\beta }_2|...|\delta {\beta }_n|{\gamma }_1|{\gamma }_2|...|{\gamma }_m,(其中,每个\gamma 不以\delta 开头)$$
那么可以把这些规则改写成
$$A\to \delta A^{\prime }|{\gamma }_1|{\gamma }_2|...|{\gamma }_m$$
$$A^{\prime }\to {\beta }_1|{\beta }_2|...|{\beta }_n$$

经过上面反复提取左因子，我们一定可以将一个非终结符的所有候选式的FIRST集两两不相交

FOLLOW集

消除左递归后的文法
$$E\to T{E}^{\prime }$$
$$E^{\prime }\to +T{E}^{\prime }|ϵ$$
$$T\to F{T}^{\prime }$$
$$T^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|ϵ$$
$$F\to (E)|i$$
我们对$ i + i $进行至上而下的语法分析

当我们进行到这个地方的时候我们发现$T^{\prime }有两个候选式T^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|ϵ，但是\ast 不能和+匹配，另一个候选式是ϵ,这时我们不能选择\ast F{T}^{\prime }去扩展，只能选择ϵ$
可以看到当候选式有$ϵ$时，会对我们的分析产生困难，如何消除这个困难呢？什么时候才能用$ϵ$去扩展呢？
这里我们就引入了$FOLLOW集$

LL(1)的分析条件

LL(1)文法

1. 文法不含左递归
2. 对文法中每一个非终结符A的各个产生式的候选终结首符集两两不相交，
   $$A\to {\alpha }_1|{\alpha }_2|...|{\alpha }_n$$
   $$则FIRST({\alpha }_i)\cap FIRST({\alpha }_j)=\varnothing$$
3. 对文法中的每个非终结符A，若它存在某个候选首符集包含 $ { \epsilon }$
   $$FIRST(A)\cap FOLLWO(A)$$

对于一个LL(1)文法，我们可以对输入串进行有效的无回溯的至上而下分析，假设我们要用非终结符$A做匹配，面临的输入符号为\alpha ,A$的所有产生式为：
$$A\to {\alpha }_1|{\alpha }_2|...|{\alpha }_n$$

1. 若$a\in FIRST({\alpha }_i)则指派{\alpha }_i$匹配

2. 若$ a $不属于任何一个候选首符集，则：

   1. 若$ϵ\in FIRST({\alpha }_i)并且a\in FOLLOW(A)则让A与ϵ自动匹配$
   2. 否则a的出现是一种语法错误

构造FIRST和FOLLOW集合

构造每个文法符号的FIRST集合

对每一文法符号 $ X \in V_T \cup V_N构造FIRST(X) $
连续使用下面几条规则，直到每个FIRST集合不再增大为止

1. 若 $ X \in V_T 则FIRST(X) = {X} $
2. 若$ X \in V_N 且有产生式 X \rightarrow a …,则把a加入到FIRST(X)中；若 X \rightarrow \epsilon 也是一条产生式，则把\epsilon也加入FIRST(X) $
3. 若 $ X \rightarrow Y 且Y \in V_N,则把FIRST(Y)中的所有非 \epsilon 元素加入到FIRST(X)中 $
   

构造FOLLOW集合

再回顾一遍FOLLOW集合的定义:
F O L L O W ( A ) = { a ∣ S ⇒ . . . A a . . . , a ∈ V T } FOLLOW(A) = \{ a| S \Rightarrow ...Aa...,a \in V_T\} FOLLOW(A)={a∣S⇒...Aa...,a∈VT​}
对于文法G的每个非终结符A构造FOLLOW(A),连续使用下面的规则，直至每个FOLLOW不再增大为止

1. 对于文法的开始符号 $S,置\#于FOLLOW(S)中$
2. 若 A → α B β 是一个产生式，则把 F I R S T ( B )   { β } 加至 F O L L O W ( B ) 中 A \rightarrow \alpha B \beta 是一个产生式，则把FIRST(B)\ \{ \beta \}加至 FOLLOW(B)中 A→αBβ是一个产生式，则把FIRST(B) {β}加至FOLLOW(B)中
3. 若$A\to \alpha B是一个产生式，或A\to \alpha B\beta 是一个产生式，但\beta \Rightarrow ϵ$则把 $FOLLOW(A)加入到FOLLOW(B)$

递归下降分析程序

递归下降分析程序

$$文法G(E)：$$
$$E\to T{E}^{\prime }$$
$$E^{\prime }\to +T{E}^{\prime }|ϵ$$
$$T\to F{T}^{\prime }$$
$$T^{\prime }\to \ast F{T}^{\prime }|ϵ$$
$$F\to (E)|i$$

文法的另一种表示方法和转换图

文法
$E\to T|E+T$
$T\to F|T\ast F$
$F\to i|(E)$
用巴克斯范式可以表示为：
E → T { + T } E \rightarrow T \{ +T \} E→T{+T}
T → F { ∗ F } T \rightarrow F \{ * F \} T→F{∗F}
$F\to i|(E)$

我们还可以用语法图来表示，这种图的每一个子图是一个非终结符，子图和子图之间可以相互引用

根据语法图和上面的巴克斯范式我们可以写出递归下降程序

预测分析程序

预测分析程序的工作过程

预测分析的总控程序：

预测分析表的构造