一、逆矩阵的注释

假设 $A$ 是一个方阵，其逆矩阵 $A^{-1}$ 与它的大小相同，$A^{-1}A=I$。$A$ 与 $A^{-1}$ 会做相反的事情。它们的乘积是单位矩阵 —— 对向量无影响，所以 $A^{-1}A\mathbf{x}=\mathbf{x}$，但是 $A^{-1}$ 也可能不存在。
矩阵最常见的就是乘一个向量 $\mathbf{x}$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 两边同时乘 $A^{-1}$ 得到 $A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$，所以 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$。$A^{-1}A$ 的乘积就像一个乘一个数再除一个数。如果一个数非零，则必然存在倒数，矩阵会更复杂一些。$A^{-1}$ 称为 $A$ 的逆矩阵。

$$\begin{gathered} 定义如果存在一个矩阵A^{-1}“逆反”A，则矩阵A可逆： \\ 两边逆反A^{-1}A=I且A{A}^{-1}=I(\mathrm{2.5.1}) \end{gathered}$$

并不是所有矩阵都有逆矩阵。方阵 $A$ 第一个需要讨论的问题是：$A$ 是否可逆？这里先不计算 $A^{-1}$，大部分情况下，并不需要计算逆矩阵，下面是逆矩阵的 6 点注释：
Note 1： 矩阵可逆当且仅当消元法可以得到 $n$ 个主元（允许行交换）。消元法求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 时不需要明确使用 $A^{-1}$。
Note 2： 矩阵 $A$ 不可能存在两个不同的逆矩阵。假设 $BA=I$ 且 $AC=I$，由结合律可得 $B=C$：$$B(AC)=(BA)C得BI=IC或B=C(\mathrm{2.5.2})$$上式证明了左逆矩阵 $B$（从左边乘）和右逆矩阵 $C$（从右边乘）是相等的。
Note 3： 若矩阵 $A$ 可逆，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$：

$$A^{-1}乘A\mathbf{x}=\mathbf{b}得\mathbf{x}=A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$$

Note 4:（重要）若有一个非零向量 $\mathbf{x}$ 使得 $A\mathbf{x}=0$，则 $A$ 不可逆。没有这样的矩阵可以将 $0$ 变成 $\mathbf{x}$。

$$若A可逆，则A\mathbf{x}=0仅存在零解\mathbf{x}=A^{-1}0=0$$

Note 5： 若 $2\times 2$ 的矩阵 $A$ 可逆，当且仅当 $ad-bc\ne 0$：$$2\times 2逆矩阵：{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right](\mathrm{2.5.3})$$$ad-bc$ 是 $A$ 的行列式，若矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
Note 6： 若对角线矩阵的对角线元素都不为零，则对角线矩阵可逆：

【例1】$2\times 2$ 的矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right]$ 不可逆。因为 $ad-bc=2-2=0$，所以 Note 5 的测试失败。当 $\mathbf{x}=(2,-1)$ 时 $A\mathbf{x}=0$，所以 Note 3 的测试失败。没有两个主元，所以 Note 1 的测试失败。
消元法会使得矩阵 $A$ 的第二行变成零行。

二、AB 乘积的逆矩阵

两个非零数 $a$ 和 $b$，它们都有倒数，但它们的和不一定有倒数。例如 $a=3$，$b=-3$，则 $a$ 的倒数是 $\frac{1}{3}$，$b$ 的倒数是 $-\frac{1}{3}$，它们的和 $a+b=0$，$0$ 没有倒数。但是它们的乘积 $ab=-9$ 是有倒数的，其倒数是 $\frac{1}{3}\times (-\frac{1}{3})=-\frac{1}{9}$。
对于两个矩阵 $A$ 和 $B$ 和上面的情况类似，它们的和不一定可逆，但是如果这两个矩阵均可逆，那么它们的乘积 $AB$ 也可逆。只是 $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 需要反序相乘：

$$\begin{gathered} 如果A和B均可逆，则AB也可逆。AB的逆矩阵是： \\ (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}(\mathrm{2.5.4}) \end{gathered}$$

为什么需要反序相乘呢？我们计算 $AB$ 乘 $B^{-1}{A}^{-1}$，中间会有 $B{B}^{-1}=I$：$$AB的逆矩阵(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=AI{A}^{-1}=A{A}^{-1}=I$$去掉括号，先求 $B{B}^{-1}$。同样的 $B^{-1}{A}^{-1}$ 乘 $AB$ 等于 $I$。
$B^{-1}{A}^{-1}$ 说明了一个基本的数学法则，逆矩阵就是逆序。例如先穿袜子再穿鞋子，逆序就是先脱鞋子再脱袜子。三个及三个以上的矩阵同样遵循这样的反序：

$$反序(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}(\mathrm{2.5.5})$$

【例2】消元矩阵的逆矩阵。如果 $E$ 从行 $2$ 减去 $5$ 倍的行 $1$，那么 $E^{-1}$ 就会将 $5$ 倍的行 $1$ 加到行 $2$：$$\begin{array}{c}E减去\\ E^{-1}加上\end{array}E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -5& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],E^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$$E{E}^{-1}$ 将得到单位矩阵 $I$。$E^{-1}E$ 也会得到 $I$，它是先加上再减去的 $5$ 倍的行 $1$。如果 $AC=I$，则 $CA=I$。
对于方阵来说，一侧的逆矩阵也是另一侧的逆矩阵。

【例3】假设 $F$ 从行 $3$ 减去 $4$ 倍的行 $2$，则 $F^{-1}$ 会将其加回去：$$F=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -4& 1\end{array}\right],F^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$现在用 $F$ 乘上例 2 中的 $E$，求出 $FE$，同时求出 $E^{-1}{F}^{-1}$。注意 $FE$ 与 $E^{-1}{F}^{-1}$ 的顺序！$$FE=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -5& 1& 0\\ 20& -4& 0\end{array}\right],E^{-1}{F}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 5& 1& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right](\mathrm{2.5.6})$$逆矩阵 $E^{-1}{F}^{-1}$ 是一个美丽又正确的矩阵，$EF$ 含有 $20$，但是它的逆矩阵却没有。$E$ 从行 $2$ 减去 $5$ 倍的行 $1$，然后 $F$ 从行 $3$ 中减去 $4$ 倍新的行 $2$ （此时的行 $2$ 已经被行 $1$ 改变了）。所以 $FE$ 会使得行 $3$ 受到行 $1$ 的影响。
而按照 $E^{-1}{F}^{-1}$ 的顺序，上述影响并没有出现。$F^{-1}$ 将 $4$ 倍的行 $2$ 加到行 $3$，然后 $E^{-1}$ 又将 $5$ 倍的行 $1$ 加到行 $2$ 上，此过程中行 $3$ 没有再被改变，所以就不再含有 $20$。所以 $E^{-1}{F}^{-1}$ 不会使行 $3$ 受到行 $1$ 的影响。
这也就是为什么会有 $A=LU$，它可以从三角矩阵 $U$ 回到 $A$，其乘数将会完美的出现在下三角矩阵 $L$ 中。

$$\begin{gathered} 消元的顺序是先E后F，逆序是先F^{-1}后E^{-1} \\ {E}^{-1}{F}^{-1}比较快，乘数5,4落在对角线元素1的下方 \end{gathered}$$

三、高斯-若尔当（Gauss-Jordan）消元法

方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解是 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$。使用消元法可以直接求出 $\mathbf{x}$，消元法也可以求出 $A^{-1}$。高斯 - 若尔当的思想就是求解 $A{A}^{-1}=I$，找到 $A^{-1}$ 的每一列。
$A$ 乘 $A^{-1}$ 的第一列（称为 ${\mathbf{x}}_1$），得到 $I$ 的第一列（称为 ${\mathbf{e}}_1$），假设 $A$ 的 $3\times 3$ 的方阵，则方程是 $A{\mathbf{x}}_1={\mathbf{e}}_1=(1,0,0)$，同样的还有两个方程。$A$ 乘上 $A^{-1}$ 的每一列 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3$ 得到 $I$ 的列：

$$A^{-1}的三列A{A}^{-1}=A\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{x}}_1& {\mathbf{x}}_2& {\mathbf{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_3\end{array}\right]=I(\mathrm{2.5.7})$$

要得到 $A$ 的逆矩阵，我们需要求解三个方程：$A{\mathbf{x}}_1={\mathbf{e}}_1=(1,0,0)、A{\mathbf{x}}_2={\mathbf{e}}_2=(0,1,0)、A{\mathbf{x}}_3={\mathbf{e}}_3=(0,0,1)$。高斯 - 若尔当消元法就是用这个方法求逆矩阵 $A^{-1}$。
高斯 - 若尔当消元法是通过同时求解 $n$ 个方程来计算 $A^{-1}$。一般来说增广矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& \mathbf{b}\end{array}\right]$ 会多一列 $\mathbf{b}$。当 $A$ 是 $3\times 3$ 的矩阵时，会在右侧多 $3$ 列 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$，它们是 $I$ 的列，因此增广矩阵就是分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]$。下面以矩阵 $K$ 为例，它的对角线元素都是 $2$，$2$ 旁边全是 $-1$，其它元素均为 $0$：$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}K& {\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 1& 0& 0\\ -1& 2& -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& 2& 0& 0& 1\end{array}\right]开始对K进行高斯-若尔当消元 \\ \to \left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 1& 0& 0\\ 0& \frac{3}{2}& -1& \frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& -1& 2& 0& 0& 1\end{array}\right](\frac{1}{2}row1+row2) \\ \to \left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 1& 0& 0\\ 0& \frac{3}{2}& -1& \frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{4}{3}& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1\end{array}\right](\frac{2}{3}row2+row3) \end{gathered}$$到这一步只完成了求 $K^{-1}$ 的一半，矩阵的前 $3$ 列是 $U$（上三角），主元 $2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$ 在对角线上。高斯在这里会利用回代，而若尔当会继续执行消元！他会一直进行到简化阶梯形式 $R=I$。通过下面的行继续进行消元，使得主元上方都是零。$$(第三主元上都为零)\to \left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 0& 1& 0& 0\\ 0& \frac{3}{2}& 0& \frac{3}{4}& \frac{3}{2}& \frac{3}{4}\\ 0& 0& \frac{4}{3}& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1\end{array}\right](\frac{3}{4}row3+row2)$$$$(第二主元上都为零)\to \left[\begin{array}{cccccc}2& 0& 0& \frac{3}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{3}{2}& 0& \frac{3}{4}& \frac{3}{2}& \frac{3}{4}\\ 0& 0& \frac{4}{3}& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}& 1\end{array}\right](\frac{2}{3}row2+row1)$$高斯 - 若尔当的最后一步是将每行除以改行的主元，使新的主元全部为 $1$。
因为 $K$ 是可逆的，所以矩阵 $\left[\begin{array}{cc}I& K^{-1}\end{array}\right]$ 的左半部分是 $I$，右半部分就是 $K^{-1}$：$$\begin{array}{c}(除以2)\\ (除以\frac{3}{2})\\ (除以\frac{4}{3})\end{array}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \frac{3}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}I& {\mathbf{x}}_1& {\mathbf{x}}_2& {\mathbf{x}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& K^{-1}\end{array}\right]$$从 $3\times 6$ 的矩阵 $\left[\begin{array}{cc}K& I\end{array}\right]$ 开始，以 $\left[\begin{array}{cc}I& K^{-1}\end{array}\right]$ 结束。对于任意的可逆矩阵 $A$，应用高斯 - 若尔当消元法：

$$\text{Gauss-Jordan}{A}^{-1}乘\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]得到\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right]$$

消元步骤在将 $A$ 变为 $I$ 过程中会得到逆矩阵。对于大型矩阵，我们可能并不想要 $A^{-1}$，但是对于小型矩阵，得到逆矩阵可能会很重要。下面是关于 $K^{-1}$ 的三条观察结果：

1. $K$ 是关于主对角线对称，$K^{-1}$ 也是对称的。
2. $K$ 是三对角（tridiagonal）矩阵（只有 $3$ 个非零对角线），但是 $K^{-1}$ 是一个没有 $0$ 的稠密（dense）矩阵。这也是另一个不常计算逆矩阵的原因。带状（band）矩阵通常都是稠密矩阵。
3. 主元的乘积是 $2(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})=4$。$4$ 就是 $K$ 的行列式。 $$K^{-1}与K的行列式做除数有关K^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right](\mathrm{2.5.8})$$这就是可逆矩阵的行列式不为零的原因：因为要除以行列式。

【例4】使用高斯 - 若尔当消元法求 $A^{-1}$，$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 7\end{array}\right]$。
解：$$\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 0\\ 4& 7& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right](这是\left[\begin{array}{cc}U& L^{-1}\end{array}\right])$$$$\to \left[\begin{array}{cccc}2& 0& 7& -3\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{7}{2}& -\frac{3}{2}\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right](这是\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right])$$【例5】如果 $A$ 是可逆的上三角矩阵，那么 $A^{-1}$ 也是。从 $A{A}^{-1}=I$ 开始。

1. $A$ 乘 $A^{-1}$ 的第 $j$ 列等于 $I$ 的第 $j$ 列，该列后面有 $n-j$ 个零。
2. 使用回代可以得到 $A^{-1}$ 的第 $j$ 列后面有 $n-j$ 个零。
3. 将这些列 ${\left[\begin{array}{c}\ast \cdots \ast \cdots \ast \end{array}\right]}^T$ 都放进 $A^{-1}$ 中，就可得到 $A^{-1}$ 是也是一个上三角矩阵。

$$A^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\begin{array}{c}列j=1和2后面有\\ 3-j=2和1个0\end{array}$$在 MATLAB 中使用 X = inv(A) 求 $A$ 的逆矩阵，该函数是利用 rref（reduced row echelon form）将矩阵简化为行阶梯形式

I = eye(n);   			  % 定义 n×n 的单位矩阵
R = rref([A I]);	      % 对增广矩阵 [A I] 执行消元法
X = R(:, n+1:n+n);        % 取出 R 后面的 n 列 X 就是 A 的逆矩阵

这里的 $A$ 必须可逆，否则消元法不能将 $A$ 变成 $I$（$R$ 的左半部分）。
从高斯 - 若尔当消元法可以看出，要计算一个 $A^{-1}$ 需要大量的计算，若有 $n$ 列，则需要 $n$ 个方程，但是每个方程都有左侧的 $A$ 相关（这是工作量最大的地方），$A^{-1}$ 整体需要 $n^3$ 次乘法和减法，求解一个 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 需要 $n^3/3$ 次乘法和加法。
不用 $A^{-1}$ 去求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，我们用一个列 $\mathbf{b}$ 去求一个列 $\mathbf{x}$。

四、奇异与可逆的对比

什么样的矩阵可逆？若 $A$ 存在一整组主元（允许行交换），则 $A^{-1}$ 存在。 我们可以使用高斯 - 若尔当消元法来证明：

1. 有 $n$ 个主元时，消元法求解所有的方程 $A{\mathbf{x}}_i={\mathbf{e}}_i$，列 ${\mathbf{x}}_i$ 进入 $A^{-1}$，则 $A{A}^{-1}=I$ 并且 $A^{-1}$ 至少是右逆矩阵。
2. 消元法是用一系列矩阵 $E^{\prime }s$，$P^{\prime }s$ 和 $D^{-1}$ 的乘法：$$左逆矩阵CCA=(D^{-1}\cdots E\cdots P\cdots E)A=I(\mathrm{2.5.9})$$

$D^{-1}$ 是除以主元，矩阵 $E$ 使得主元上方和下方的元素变为 $0$，$P$ 是在需要时进行行交换。式（9）中这些矩阵的乘积就是 $A$ 的左逆矩阵。使用 $n$ 个主元得到 $A^{-1}A=I$。
由 Note2 知：左逆矩阵等于右逆矩阵，所以有一整组主元的方阵两边都存在逆矩阵，且相等。
下面证明若 $AC=I$，则 $A$ 一定有 $n$ 个主元。

1. 如果 $A$ 没有 $n$ 个主元，则消元法会得到一个零行。
2. 这些消元步骤可以用可逆矩阵 $M$ 实现，所以 $MA$ 也有一个零行。
3. 因为 $AC=I$，所以 $MAC=M$，$MA$ 的零行乘 $C$ 也会得到一个零行。
4. 可逆矩阵 $M$ 不可能存在零行！所以若 $AC=I$，则 $A$ 一定有 $n$ 个主元。$C$ 就是 $A^{-1}$。

消元法提供了方阵可逆的完整测试。当 $A$ 有 $n$ 个主元时，$A^{-1}$ 一定存在（可通过高斯 - 若尔当消元法找到）：

$$如果AC=I，则CA=I且C=A^{-1}(\mathrm{2.5.10})$$

【例6】如果 $L$ 是下三角矩阵且对角线元素都是 $1$，则 $L^{-1}$ 也是。

一个三角矩阵可逆，当且仅当没有对角线元素是 $0$

使用高斯 - 若尔当消元法从 $E_{32},E_{31},E_{21}$ 创建 $L^{-1}$。$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 3& 1& 0& 0& 1& 0\\ 4& 5& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}L& I\end{array}\right] \\ \to \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -3& 1& 0\\ 0& 5& 1& -4& 0& 1\end{array}\right] \\ \begin{array}{c}逆矩阵\\ 仍是三角形\end{array}\to \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -3& 1& 0\\ 0& 0& 1& 11& -5& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

五、分辨逆矩阵

正常情况下，若要判断一个矩阵是否可逆，需要做很多工作。通常是使用消元法去找它是否存在一整组的非零主元。但是有些矩阵可以很快速的判断出它是否可逆，例如它是一个严格对角线优势（diagonally dominant）矩阵。
严格对角线优势矩阵是可逆的。这种矩阵的对角线元素 $a_{ii}$ 的绝对值比改行其它所有元素绝对值的和还要大，对于每一行都有：$$|a_{ii}|>\sum _{j\ne i}|a_{ij}|，即|a_{ii}|=|a_{i1}|+\cdots +(跳过|a_{ii}|)+\cdots |a_{in}|(\mathrm{2.5.11})$$下面三个矩阵 $A$ 是严格对角线优势矩阵 $(3>2)$，$B$ 不是（但仍然可逆），$C$ 是奇异矩阵。$$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right]$$原因： 对于任意的非零向量 $\mathbf{x}$，假设它最大的分量是 $|x_i|$。那么不可能有 $A\mathbf{x}=0$。此时选择 $A$ 的行 $i$，则若要 $A\mathbf{x}$ 的行 $i$ 为 $0$，则有：$$a_{i1}{x}_1+\cdots a_{ii}{x}_i+\cdots +a_{in}{x}_n=0$$而上述不可能为零。因为 $|a_{ii}{x}_i|$ 比其他所有的和还要大。$$所有的|x_j|<|x_i|\sum _{j\ne i}|a_{ij}{x}_j|\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}||x_j|<|a_{ii}||x_i|因为a_{ii}占优势$$因此只有当 $\mathbf{x}=0$ 时 $A\mathbf{x}=0$ 才成立，所有 $A$ 可逆。需要注意的是，若不是对角线优势矩阵也不一定不可逆，例如 $B$ 不是对角线优势矩阵，它仍然可逆。

六、主要内容总结

1. 逆矩阵有 $A{A}^{-1}=I$ 且 $A^{-1}A=I$。
2. $A$ 可逆当且仅当它有 $n$ 个主元（允许行交换）。
3. （重要）。如果存在非零向量 $\mathbf{x}$ 使得 $A\mathbf{x}=0$，则 $A$ 不可逆。
4. $AB$ 的逆矩阵是反序乘积 $B^{-1}{A}^{-1}$，$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$。
5. 高斯 - 若尔当消元法求解 $A{A}^{-1}=I$ 可以得到 $A^{-1}$ 的 $n$ 个列。增广矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]$ 使用行简化得到 $\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right]$。
6. 严格对角线优势矩阵是可逆的。每个 $|a_{ii}|$ 在它所在的行站主导地位。

七、例题

【例7】三角形差分矩阵 $A$ 的逆矩阵是三角形求和矩阵 $S$：$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& -1& 1& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \to \left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& 求和矩阵\end{array}\right] \end{gathered}$$如果将 $a_{13}$ 改为 $-1$，则 $A$ 所有的行加起来都是 $0$，方程 $A\mathbf{x}=0$ 将会存在非零解 $(1,1,1)$，所以新的矩阵 $A$ 将不可逆。

【例8】下列矩阵有 $3$ 个可逆，$3$ 个不可逆。如果可逆，找出其逆矩阵，若不可逆，说明原因（零行列式，主元太少，$A\mathbf{x}=0$ 有非零解）。下列矩阵按顺序为 $A,B,C,D,S,E$。
$$\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 8& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 8& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}6& 6\\ 6& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}6& 6\\ 6& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$
解： $$B^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}7& -3\\ -8& 4\end{array}\right]C^{-1}=\frac{1}{36}\left[\begin{array}{cc}0& 6\\ 6& -6\end{array}\right]S^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$$$A$ 不可逆，因为其行列式为 $4\cdot 6-3\cdot 8=24-24=0$。$D$ 不可逆，因为它仅有一个主元；行 $2$ 减去行 $1$ 变成了零行。$E$ 有两个相等的列，或者说 $E\mathbf{x}=0$ 有非零解 $(-1,1,0)$。
不可逆的矩阵均可使用这三个原因。

【例9】使用高斯 - 若尔当消元法求三角帕斯卡（Pascal）矩阵。帕斯卡三角–每个元素加上其左侧元素等于它下面的元素。矩阵 $L$ 的元素是二项式系数。下一行将会是 $1,4,6,4,1$。$$三角帕斯卡矩阵L=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ 1& 3& 3& 1\end{array}\right]=\text{abs(pascal(4,1))}$$解： 高斯 - 若尔当消元法从 $\left[\begin{array}{cc}L& I\end{array}\right]$ 开始，通过减去行 $1$ 使得第一主元下方都为 $0$$$\left[\begin{array}{cc}L& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 3& 3& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& -1& 1& 0& 0\\ 0& 2& 1& 0& -1& 0& 1& 0\\ 0& 3& 3& 1& -1& 0& 0& 1\end{array}\right]$$下一步会使第二主元下方都变为 $0$，乘数是 $2$ 和 $3$。然后使第三主元下方变为 $0$，乘数是 $3$$$\to \left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 3& 1& 2& -3& 0& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& -1& 3& -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& L^{-1}\end{array}\right]$$由于所有的主元都是 $1$，所有没有必要再让每行除以主元得到 $I$。逆矩阵 $L^{-1}$ 和 $L$ 很像，只是奇对角线处是负号。
同样可以扩展到 $n\times n$ 的帕斯卡矩阵，$L^{-1}$ 的对角线交替符号。