复数的乘幂与方根

1、乘积与商

设z_{1}=re^{i\theta},z_{2}=r_{2}e^{i\theta},\eta\frac{z_{2}}{z_{1}}=\frac{r_{2}e^{i\theta_{2}}}{r_{1}e^{i\theta_{1}}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}e^{i(\theta_{2}+\theta_{1})},z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}

\begin{gathered} z_{1}z_{2}:|z_{2}z_{2}|=|z_{1}|z_{2}|,Argz_{2}=Argz_{1}+Argz_{2} \\ \frac{z_{1}}{z_{2}}:|\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|},Argz\frac{z_{1}}{z_{2}}=Argz_{2}-Argz_{1} \end{gathered}

几何意义：

z_{1}z_{2}：z_{1}逆时针旋转一个角度argz_{2}，并伸长\left | z_{2} \right |倍

\frac{z_{1}}{z_{2}}：z_{2}顺时针旋转一个角度argz_{1}，并伸长\left | \frac{1}{z_{1}} \right |倍

*特别：iz_{1}\Rightarrow x+iy,(x=0,y=0)\Rightarrow arctan\frac{y}{x}\rightarrow不存在

iz_{1}:对z_{1}实行了一次旋转变换，且长度不变，旋转角为\frac{\pi}{2}

例题：

2、幂与根

*z的n次幂：n个相同z的乘积称为z的n次幂：\begin{aligned}z^{n}&=zz\cdots z=re^{i\theta}\cdot re^{i\theta}\end{aligned}

                   z^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right)(n为整数，结果仍成立)

*棣莫弗公式：\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin\theta

1的n次方根，也叫n次单位根

例题：

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