TensoRF: Tensorial Radiance Fields

TensoRF是ECCV2022一个非常有特色的工作。作者在三维场景表示中引入张量分解的技术，将4D张量分解成多个低秩的张量分量，实现更好的重建质量、更快的重建速度、更小的模型体积。

文章目录

TensoRF: Tensorial Radiance Fields
一、论文想法
二、张量分解-数学原理
三、VM分解在NeRF中的具体使用
四、实验细节
总结

一、论文想法

TensoRF并没有采用像原始NeRF一样纯粹的隐式表示方法，更像是一种显示+隐式结合表示的方法，将场景建模为一个四维的张量，张量中的每一项代表一个体素，体素内包含了体积密度和多维的特征信息。

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论文的中心思想是，使用张量分解技术，将4D张量分解成多个低秩的张量分量，实际处理时不用建模出这个4D张量，而用一系列1D向量、2D矩阵表示，从而降低显存消耗，提高运算速度。

二、张量分解-数学原理

外积(outer product)是线性代数中的一类重要运算，对于n维和m维的两个向量，其外积定义为一个n × m的矩阵。即，由u中的每个元素和v中的每个元素相乘得到的m × n阶矩阵A：

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例如，当m=4, n=3时，有：

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如果一个张量可以写成N个向量的外积，这个张量就是秩一张量。

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其中张量中的每一个元素为：

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张量分解中的一种最简洁的形式，张量CP分解，就是将任意某个张量，近似分解成一系列秩一张量的求和形式。

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针对三维张量的CP分解，可用三维空间中X轴、Y轴、Z轴的外积，来可视化辅助理解：

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CP分解的优点：计算速度快、显存占用低，由O(n3)降低到了O(n)级别。CP分解的缺点：紧凑性太高，可能需要许多组件（a1、a2、…、aR的数量）来对复杂场景进行建模，计算成本很高。为了折衷组件的数量和矩阵分解的效率，作者新提出了一种VM分解。

VM分解与CP分解相似， VM的含义是Vector-Matric，向量和矩阵的意思。相比于CP分解，这里有三项内容的加和，每一项有各自的组件数量R1，R2，R3，这三个值可以不同。相比原先，VM分解的显存占用也有所降低，O(n3)降低到了O(n2)级别。

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针对三维张量的VM分解，可用三维空间中X、Y、Z轴分别与Y-Z、X-Z、X-Y平面的外积，来可视化辅助理解：

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三、VM分解在NeRF中的具体使用

TensoRF：预先定义好，一组体密度特征相关的向量Vσ和矩阵Mσ，一组颜色特征相关的向量Vc和矩阵Mc。其中，density_plane代表体密度特征相关的矩阵，分别率为(128, 128)，共有16个，(0)(1)(2)分别代表X-Y平面、Y-Z平面、X-Z平面。density_line代表体密度特征相关的向量，长度为128，共有16个，(0)(1)(2)分别代表Z平面、X平面、Y平面。同理，app_plane代表颜色特征相关的矩阵，app_line代表颜色特征相关的向量。

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NeRF的本质：输入坐标位置x、观测方向d，预测体密度σ、颜色c。

TensoRF将空间体密度张量视为三维张量。在预测体密度σ时，输入坐标位置x，取出对应索引下体密度特征相关的向量、矩阵中的值，利用VM公式计算得到该点的体密度特征(标量) ，直接求和作为体密度σ 。

TensoRF将空间颜色特征张量视为四维张量。在预测颜色c时，输入坐标位置x，取出对应索引下颜色特征相关的向量、矩阵中的值，利用VM公式concatenate得到该点的颜色特征(144维的向量) ，用线性层转化成27维。定义MLP解码器，输入计算出的该点的颜色特征向量(27维)、观测方向d(3维)，采用傅里叶编码并concatenate，利用线性层回归出该点位置的颜色c。

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此处的MLP网络只负责解码，不负责提取特征(因为前面已经利用VM分解提取到了颜色特征)，因此比原始NeRF的MLP还要简单很多，只有几个线性层。

在整个处理过程中，计算体密度特征、颜色特征向量时，采用的是离散建模，再插值采样的方式，因此认为是显式的；而计算颜色时，采用了MLP网络回归的方式，因此认为是隐式的。

和NeRF一样，TensoRF本质也是输入坐标位置x、观测方向d，预测体密度σ、颜色c。只不过在建模拟合函数时，引入了张量分解的技巧，利用张量分解先提取体密度σ、颜色c的特征，再对提取到的特征回归体密度σ、颜色c。

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这里x表示坐标位置，d表示观测方向，Gσ表示插值采样得到的体密度特征， Gc表示插值采样得到的颜色特征向量，S表示MLP解码函数。

四、实验细节

以Lego数据集为例，采用TensoRF进行隐式三维重建。

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训练集采用100张RGB图像，每张图像尺寸(800, 800, 3)。

整个建模的空间场景定义为一个长方体，XYZ三个分量坐标都是[-1.5, 1.5]，建模的初始体素为[-1.5, 1.5] × [-1.5, 1.5] × [-1.5, 1.5]。初始分辨率固定为128 × 128 × 128，即每个voxel的长宽高均为3/128=0.0234，后续会随着alpha Mask和上采样不断细化更新。

输入一个batch的三维坐标x、观测方向d。x: (bs, 3)、d: (bs, 3)，整体流程可分为6步：

将x分解成X轴、Y轴、Z轴三个分量，即x1: (bs, 1)、 x2: (bs, 1)、 x3: (bs, 1)，表示粒子在XYZ轴上各自的坐标数值。
根据粒子在XYZ轴上各自的坐标数值，在定义的16×3个体密度特征有关向量中插值采样，取出对应的数值: (bs, 16, 3)；在定义的16*3个体密度特征有关矩阵中插值采样，取出对应的数值: (bs, 16, 3)；相乘后得到(bs, 16, 3)，再全部求和累加，得到(bs, 1)，即作为体密度σ。
根据粒子在XYZ轴上各自的坐标数值，在定义的48×3个颜色密度特征有关向量中插值采样，取出对应的数值: (bs, 48, 3)；在定义的48*3个体密度特征有关矩阵中插值采样，取出对应的数值: (bs, 48, 3)；相乘后得到(bs, 48, 3)，再全部拼接在一起，作为颜色特征: (bs, 144) 。
利用前面定义的线性层Linear(in_features=144, out_features=27, bias=False)，也就是论文中的B矩阵，将颜色特征转换成: (bs, 27) 。
将颜色特征(bs, 27) 进行傅里叶编码[six(x), cos(x), sin(2x), cos(2x)]，转换成(bs, 108) 。将观测方向(bs, 3) 进行编码，转换成(bs, 12) 。再加入原始值，concatenate得到(bs, 150) 。
将(bs, 150)输入MLP网络，经过三个线性层，最终输出(bs, 3)，作为颜色c。