文章目录
- 1. 图的基本介绍
- 1.1. 图的举例说明
- 1.2. 图的常用概念
- 2. 图的表示方式
- 2.1. 邻接矩阵
- 2.2. 邻接表
- 3. 应用案例
- 4. 图的遍历
- 4.1. 深度优先遍历
- 4.1.1. 基本思想
- 4.1.2. 算法步骤
- 4.1.3. 代码实现
- 4.2. 广度优先遍历
- 4.2.1. 基本思想
- 4.2.2. 算法步骤
- 4.2.3. 代码实现
- 4.3. 图的深度优先 VS 广度优先
1. 图的基本介绍
为什么要有图？
前面学了线性表和树，线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系，树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。
1.1. 图的举例说明
图是一种数据结构，其中
①结点可以具有零个或多个相邻元素。
②两个结点之间的连接称为边。
③结点也可以称为顶点。
如图：
1.2. 图的常用概念
1.顶点(vertex)
2.边(edge)
3.路径
4.无向图
如下图所示：
5.有向图
6.带权图
如下图所示：
2. 图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
2.1. 邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 r o w row row 和 c o l col col 表示的是 1.... n 1....n 1....n 个点。
2.2. 邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费
邻接表由数组+链表组成
举例说明：
3. 应用案例
要求: 代码实现如下图结构
思路分析：
(1) 存储顶点String，使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges
代码实现：
package graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import javax.management.loading.PrivateClassLoader;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
private int numOfEdges;// 表示边的数目
public static void main(String[] args) {
// 测试
int n = 5;// 节点的个数
String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.inserVertex(Vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);// A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.showGrap();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
// 图 常用的方法
// 返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGrap() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 插入节点
public void inserVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
*
* @param v1 表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
* @param v2 表示第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
运行结果：
4. 图的遍历
图遍历介绍：
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
4.1. 深度优先遍历
4.1.1. 基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) ：
深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。显然，深度优先搜索是一个递归的过程。
4.1.2. 算法步骤
- 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
- 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
- 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
- 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
分析图解：
4.1.3. 代码实现
package graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import javax.management.loading.PrivateClassLoader;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
private int numOfEdges;// 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[]：记录某个节点是否被访问过
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
// 测试
int n = 5;// 节点的个数
String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.inserVertex(Vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);// A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.showGrap();
// 测试：dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[5];
}
// 得到第一个邻接节点的下标
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先遍历算法
// i第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 查找节点i的第一个邻接节点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {// 说明有
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 对dfs进行一个重载，遍历所有的节点，并进行dfs
public void dfs() {
// 遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
// 图 常用的方法
// 返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGrap() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 插入节点
public void inserVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
*
* @param v1 表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
* @param v2 表示第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
//代码似乎有问题
运行结果：
4.2. 广度优先遍历
4.2.1. 基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) ：
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
4.2.2. 算法步骤
- 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
- 结点 v 入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点 u。
- 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
- 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
6.2 结点 w 入队列
6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。
4.2.3. 代码实现
package graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import javax.management.loading.PrivateClassLoader;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
private int numOfEdges;// 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[]：记录某个节点是否被访问过
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
// 测试
int n = 5;// 节点的个数
String Vertexs[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.inserVertex(Vertex);
}
// 添加边
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);// A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.showGrap();
// 测试：dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs();
System.out.println();
// 测试：bfs遍历是否ok
System.out.println("广度遍历");
graph.bfs();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
// 得到第一个邻接节点的下标
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先遍历算法
// i第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 查找节点i的第一个邻接节点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {// 说明有
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 对dfs进行一个重载，遍历所有的节点，并进行dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[5];
// 遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
// 对一个节点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u;// 表示队列的头节点对应下标
int w;// 邻接节点w
// 队列：记录节点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
// 访问节点，输出节点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 标记为已访问
isVisited[i] = true;
// 将节点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接节点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {// 找到
// 是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isVisited[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱节点，找w后面的下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(u, w);// 体现出广度优先
}
}
}
// 遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[5];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
// 图 常用的方法
// 返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGrap() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 插入节点
public void inserVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
*
* @param v1 表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
* @param v2 表示第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
运行结果：
4.3. 图的深度优先 VS 广度优先
上面的例子看不出深度优先遍历和广度优先遍历的区别，下面换一个例子进行演示：
问题情景：
深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8
代码实现：
package graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import javax.management.loading.PrivateClassLoader;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合
private int[][] edges;// 存储图的邻接矩阵
private int numOfEdges;// 表示边的数目
// 定义一个数组boolean[]：记录某个节点是否被访问过
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
// 测试
int n = 8;// 节点的个数
String Vertexs[] = { "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" };
// 创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
// 循环添加顶点
for (String Vertex : Vertexs) {
graph.inserVertex(Vertex);
}
// 添加边
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.showGrap();
// 测试：dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs();
System.out.println();
// 测试：bfs遍历是否ok
System.out.println("广度遍历");
graph.bfs();
}
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
// 得到第一个邻接节点的下标
/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先遍历算法
// i第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
// 首先访问该节点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将节点设置为已访问
isVisited[i] = true;
// 查找节点i的第一个邻接节点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {// 说明有
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
// 如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 对dfs进行一个重载，遍历所有的节点，并进行dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
// 对一个节点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u;// 表示队列的头节点对应下标
int w;// 邻接节点w
// 队列：记录节点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
// 访问节点，输出节点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
// 标记为已访问
isVisited[i] = true;
// 将节点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
// 取出队列的头节点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
// 得到第一个邻接节点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {// 找到
// 是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
// 标记已经访问
isVisited[w] = true;
// 入队
queue.addLast(w);
}
// 以u为前驱节点，找w后面的下一个邻接节点
w = getNextNeighbor(u, w);// 体现出广度优先
}
}
}
// 遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
// 图 常用的方法
// 返回节点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 显示图对应的矩阵
public void showGrap() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
// 返回节点i（下标）对应的数据：0->"A" 1-> "B" 2->"C" ...
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 插入节点
public void inserVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
*
* @param v1 表示第一个顶点对应的下标：即第几个顶点，A B C D E 的下标分变为：0 1 2 3 4
* @param v2 表示第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示是否连通，0：没有连通，1：连通
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
运行结果：
