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乘法除法运算符规范

发布时间:2022/12/3 15:02:18

乘法除法运算符规范

  • 引言
  • 乘法运算符
    • 对于包含字母的情况
    • 对于包不含字母的情况
      • 纯数字的情况
      • 含有虚数单位的情况
    • 乘法运算符号的其他写法
  • 除法运算符
    • 除法运算符号的常用表达形式
    • 纯数字的情况
    • 对于包含字母的情况
  • 总结

引言

可能很多小伙伴看到这个标题会瞬间对这篇文章嗤之以鼻,心里可能在yy,我读书这么多年了,我会不知道乘法和除法的符号怎么写?

先别急,容我娓娓道来。最近在看文章的过程中,由于涉及到很多公式的推导过程,尤其是涉及复数,向量类的运算,被各种符号的书写折磨的死去活来,于是便想着对这些个符号刨根问底,最终就收获了这篇文章。

事实上,关于乘法和除法的运算符号并没有完整地明确地规定,即使是开发出这种运算规则的数学家大多也都是根据个人习惯使用的,然后后人逐渐学习沿用至今,但是总的来说,运算符号的选择遵循两个首要原则:

  1. 没有歧义,即符合使用场景的背景。
  2. 容易被阅读和理解

乘法运算符

对于包含字母的情况

关于乘法运算符,通常对于含有字母的表达式,我们会使用 ⋅ \cdot 来替代 × \times ×符号。这是因为,英文中的x字母,尤其是大写的X字母和 × \times ×乘法符号非常相似,非常容易引起误解,这违背了运算符号的第一个要求,比如下面的表达式:
3 × x + 4 × X + 5 x × X (1) 3 \times x + 4 \times X + 5 x \times X \tag{1} 3×x+4×X+5x×X(1)
显然,CSDN关于符号做了一些优化处理,但是对于实际情况,不同的人,他们的书写习惯千差万别,难免会出现难以分清楚的情况,因此我们规定,对于含有字母的表达式,我们通常使用 ⋅ \cdot 来替代 × \times ×符号。 然而,用 × \times ×可以吗,有错吗?当然没错,是可以使用的,但是容易引起歧义。

如果使用 ⋅ \cdot 来处理表达式 ( 1 ) \left(1\right) (1),则可以将其改写为:
3 ⋅ x + 4 ⋅ X + 5 ⋅ x ⋅ X (2) 3 \cdot x + 4 \cdot X + 5 \cdot x \cdot X \tag{2} 3x+4X+5xX(2)
可以看到,此时 ( 2 ) \left(2\right) (2)式的形式相比于 ( 1 ) \left(1\right) (1)式的形式就更加清晰了。然而事实上,对于包含有字母的情况,对于乘法,数学家们通常的做法是直接省略乘法符号,具体形式如下:
3 x + 4 X + 5 x X (3) 3x + 4X + 5xX \tag{3} 3x+4X+5xX(3)
( 3 ) \left(3\right) (3)式和 ( 2 ) \left(2\right) (2)式相比是不是更加清晰了呢?

对于包不含字母的情况

纯数字的情况

比如:
2 × 3 (4) 2 \times 3 \tag{4} 2×3(4)
通常来说,对于纯数字的乘法运算,我们使用 × \times ×符号。 这是因为,如果数字中存在小数的情况,也会容易造成歧义,比如:
2.3 ⋅ 3 (5) 2.3 \cdot 3 \tag{5} 2.33(5)
不难看出, ( 5 ) \left(5\right) (5)式中的写法很容易造成歧义,并且也不方便读者的阅读和理解。
2.33 (6) 2.3 3 \tag{6} 2.33(6)
关于 ( 6 ) \left(6\right) (6)式中的写法,很明显,我们是为了表达 2.3 2.3 2.3 3 3 3是乘积关系,但是当省略了乘法符号后变得不伦不类了。完全无法表达出正确的含义。

含有虚数单位的情况

然而还有一种特殊的情况,即包含叙述单位 i i i的情况,比如我们有如下两个复数 a 1 = 1 + 2 i a_1 = 1 + 2i a1=1+2i a 2 = 2 + 3 i a2 = 2 + 3i a2=2+3i要对它们做乘积运算,那么有:
a 1 a 2 = ( 1 + 2 i ) ( 1 + 3 i ) a 1 a 2 = ( 1 × 1 ) + ( 1 × 3 i ) + ( 2 i × 1 ) + ( 2 i × 3 i ) a 1 a 2 = 1 + 3 i + 2 i + ( − 6 ) a 1 a 2 = − 5 + 5 i a_1a_2 = \left ( 1 + 2i \right ) \left ( 1 + 3i \right ) \\ a_1a_2= \left ( 1 \times 1 \right ) + \left ( 1\times 3i \right ) + \left ( 2i \times 1 \right ) + \left ( 2i \times3i \right ) \\ a_1a_2= 1 + 3i + 2i + \left ( -6 \right ) \\ a_1a_2=-5 + 5i a1a2=(1+2i)(1+3i)a1a2=(1×1)+(1×3i)+(2i×1)+(2i×3i)a1a2=1+3i+2i+(6)a1a2=5+5i
但是,仔细观察上面的等式,我们发现了一个问题, i i i是虚数单位,并且它是一个字母,根据我们之前讨论过的结果,对于包含字母的表达式, × \times ×乘法符号书写方式应该被弃用,因此我们说上面的形式虽然正确,但是不是最佳的书写方式,最佳的书写方式如下:
a 1 a 2 = ( 1 + 2 i ) ( 1 + 3 i ) a 1 a 2 = 1 ( 1 + 3 i ) + 2 i ( 1 + 3 i ) a 1 a 2 = 1 + 3 i + 2 i + − 6 i ⋅ i a 1 a 2 = 1 + 3 i + 2 i + ( − 6 ) a 1 a 2 = − 5 + 5 i a_1 a_2 =\left ( 1 + 2i \right )\left ( 1 + 3i \right ) \\ a_1 a_2=1\left ( 1 + 3i \right ) + 2i\left ( 1+ 3i \right ) \\ a_1 a_2=1 + 3i + 2i + -6i \cdot i \\ a_1 a_2=1 + 3i + 2i + \left ( -6 \right ) \\ a_1 a_2=-5 + 5i a1a2=(1+2i)(1+3i)a1a2=1(1+3i)+2i(1+3i)a1a2=1+3i+2i+6iia1a2=1+3i+2i+(6)a1a2=5+5i
注意,此时在大部分运算中我们都省略了乘法符号,但是在 6 i ⋅ i 6i\cdot i 6ii这一项中,我们使用了 ⋅ \cdot 作为乘法运算符,这是因为,如果不这样,那么 6 i i 6ii 6ii很可能是 6 6 6 i i ii ii的乘积。这显然引入了歧义。

乘法运算符号的其他写法

事实上,关于乘法符号,有各式各样的写法,这里给出一些示例:

  1. ⋅ \cdot
  2. × \times ×
  3. ∗ \ast
  4. ⊙ \odot
  5. ⊗ \otimes
  6. ∏ \prod
  7. ∩ \cap :数学家莱布尼茨最早使用过的用法之一

除法运算符

除法运算符号的常用表达形式

对于除法运算,表达形似也有很多,比如:

  1. ÷ \div ÷
  2. /
  3. 1 2 \cfrac{1}{2} 21:分数形式

纯数字的情况

但是不难发现,在所有的文献中,我们很难会遇到 ÷ \div ÷表达形式的除法符号。通常,对于纯数字的除法运算,我们可以使用 ÷ \div ÷符号。 比如:
1 ÷ 2 (7) 1 \div 2 \tag{7} 1÷2(7)
当然我们也可以写成 1 2 \cfrac{1}{2} 21

对于包含字母的情况

但是对于含有字母的除法表达式,比如:
a b (8) \frac{a}{b} \tag{8} ba(8)
如果我们分别使用 ÷ \div ÷和/符号对其进行改写会得到:
a ÷ b (9) a \div b \tag{9} a÷b(9)
a / b (10) a / b \tag{10} a/b(10)
显然,相比于 ( 8 ) \left(8\right) (8)式中的写法, ( 9 ) \left(9\right) (9) ( 10 ) \left(10\right) (10)也不会引起歧义,但是如果当我们这个表达式比较长,且包含多个除法运算比较复杂时,比如:
( a ÷ b + c ÷ e ) ÷ ( f ÷ a ) (11) \left(a \div b + c \div e\right) \div \left(f \div a\right) \tag{11} (a÷b+c÷e)÷(f÷a)(11)
( a / b + c / e ) / ( f / a ) (12) \left(a / b + c / e\right) / \left(f / a\right) \tag{12} (a/b+c/e)/(f/a)(12)
显然,此时的 ( 11 ) \left(11\right) (11)式和 ( 12 ) \left(12\right) (12)式的形式就变得十分晦涩难懂,不易于阅读和理解,这显然违背了我们之前提到的第二个原则。因此,对于含有字母的表达式,推荐使用 1 2 \cfrac{1}{2} 21的写法。

总结

对于乘法运算符号:

  1. 对于出数字的形式,推荐使用 × \times ×的形式。
  2. 对于全部为字母的情况,通常省略乘法运算符。
  3. 对于包含有复数运算的情况,酌情在两个相乘的元素中添加 ⋅ \cdot 符号规避歧义。这一点实际上可以理解为一个表达式即包含有数字同时也包含有字母的情况。

对于除法运算符号, 无论对于数字,字母的情况,都优先推荐形如 1 2 \cfrac{1}{2} 21的写法。

除了上述的总结,在书写运算符号时可以酌情使用,只要能过符合运算的背景不引入歧义,且利于读者的阅读和理解即可。

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