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35.期末复习
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已知一个矩阵 A A A满足 A x ⃗ = [ 1 0 0 ] A \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} Ax= 100 无解且 A x ⃗ = [ 0 1 0 ] A \vec{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} Ax= 010 仅有一个解
(1)求 A A A的行、列和秩
(2)判断正误：① A A T A A^T AAT是正定矩阵
② A T A A^T A ATA可逆
③ A T A A^T A ATA和 A A T A A^T AAT的行列式相等
(3)证明 A T y ⃗ = c ⃗ A^T \vec{y} = \vec{c} ATy=c对于任意 c ⃗ \vec{c} c都至少有一个解
A n s Ans Ans：(1)易得 m = 3 m = 3 m=3
因为 A x ⃗ = [ 0 1 0 ] A \vec{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} Ax= 010 仅有一个解，所以 n = r < m n = r < m n=r<m，因而 n = r = 1 n = r = 1 n=r=1或 n = r = 2 n = r = 2 n=r=2
(2)①错误， A A T A A^T AAT的秩和 A A A一致，小于 3 3 3，而 A A T A A^T AAT为 3 3 3阶方阵，所以 A A T A A^T AAT不可逆，不可能为正定矩阵
②正确， A T A A^T A ATA的零空间和 A A A一致，而 A A A的 n = r n = r n=r，零空间中只有 0 ⃗ \vec{0} 0，所以 A T A A^T A ATA可逆
③错误， A T A A^T A ATA可逆而 A A T A A^T AAT不可逆，二者行列式肯定不相等
(3)因为 A A A的列线性无关，所以 A T A^T AT的行线性无关，因而 A T y ⃗ = c ⃗ A^T \vec{y} = \vec{c} ATy=c对于任意 c ⃗ \vec{c} c都至少有一个解
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已知一个马尔可夫矩阵 A = [ 0.2 0.4 0.3 0.4 0.2 0.3 0.4 0.4 0.4 ] A = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.4 & 0.3 \\ 0.4 & 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.4 & 0.4 \end{bmatrix} A= 0.20.40.40.40.20.40.30.30.4 ，有 u ⃗ 0 = [ 0 10 0 ] , u ⃗ k = A k u ⃗ 0 \vec{u}_0 = \begin{bmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{bmatrix} , \vec{u}_k = A^k \vec{u}_0 u0= 0100 ,uk=Aku0,求 lim k → + ∞ u ⃗ k \lim_{k \to +\infty} \vec{u}_k limk→+∞uk
A n s Ans Ans： A A A的第一二列之和为第三列的两倍，所以 A A A的列线性相关， A A A不可逆，有一个特征值为 0 0 0
因为 A A A是马尔可夫矩阵，所以还有一个特征值为 1 1 1，最后一个特征值是 ( 0.2 + 0.2 + 0.4 ) − 0 − 1 = − 0.2 (0.2 + 0.2 + 0.4) - 0 - 1 = -0.2 (0.2+0.2+0.4)−0−1=−0.2
所以 u ⃗ k = c 1 λ 1 k x ⃗ 1 + c 2 λ 2 k x ⃗ 2 + c 3 λ 3 k x ⃗ 3 = c 2 x ⃗ 2 + c 3 ( − 0.2 ) k x ⃗ 3 \vec{u}_k = c_1 \lambda_1^k \vec{x}_1 + c_2 \lambda_2^k \vec{x}_2 + c_3 \lambda_3^k \vec{x}_3 = c_2 \vec{x}_2 + c_3 (-0.2)^k \vec{x}_3 uk=c1λ1kx1+c2λ2kx2+c3λ3kx3=c2x2+c3(−0.2)kx3
又 lim k → + ∞ ( − 0.2 ) k = 0 \lim_{k \to +\infty} (-0.2)^k = 0 limk→+∞(−0.2)k=0，所以 lim k → + ∞ u ⃗ k = c 2 x ⃗ 2 \lim_{k \to +\infty} \vec{u}_k = c_2 \vec{x}_2 limk→+∞uk=c2x2
有 A − I = [ − 0.8 0.4 0.3 0.4 − 0.8 0.3 0.4 0.4 − 0.6 ] A - I = \begin{bmatrix} -0.8 & 0.4 & 0.3 \\ 0.4 & -0.8 & 0.3 \\ 0.4 & 0.4 & -0.6 \end{bmatrix} A−I= −0.80.40.40.4−0.80.40.30.3−0.6 ，第一二列之和为第三列的 − 4 3 -\dfrac{4}{3} −34，所以 [ 3 3 4 ] \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} 334 在它的零空间中
又刚好 3 + 3 + 4 = 0 + 10 + 0 3 + 3 + 4 = 0 + 10 + 0 3+3+4=0+10+0，所以 c 2 = 1 , lim k → + ∞ u ⃗ k = [ 3 3 4 ] c_2 = 1 , \lim_{k \to +\infty} \vec{u}_k = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} c2=1,limk→+∞uk= 334 （因为乘上马尔可夫矩阵不会改变元素和）
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求特征值为 0 , 3 0 , 3 0,3，且对应特征向量分别为 [ 1 2 ] , [ 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} [12],[21]的二阶矩阵
A n s Ans Ans：该二阶矩阵为 S Λ S − 1 = [ 1 2 2 1 ] [ 0 0 0 3 ] [ − 1 3 2 3 2 3 − 1 3 ] = [ 4 2 − 2 − 1 ] S \Lambda S^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -{1 \over 3} & {2 \over 3} \\ {2 \over 3} & -{1 \over 3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} SΛS−1=[1221][0003][−313232−31]=[4−22−1]
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