2019年认证杯SPSSPRO杯数学建模
D题 5G时代引发的道路规划革命
原题再现：
忙着回家或上班的司机们都知道交通堵塞既浪费时间又浪费燃料，甚至有的时候会带来情绪上的巨大影响，引发一系列的交通问题。据报道，每年交通拥堵使得美国市民在路上总共浪费了超过 55 亿小时，以及价值达到 1210亿美元的 29 亿加仑燃料。虽然十字路口和州际公路的匝道处交通十分繁忙，但是大多数乡村公路却鲜有车流，道路占用率只有 5%。
即将到来的 5G（第五代移动通信网络）时代，将有可能解决这个问题，5G的无线传输带宽的峰值理论传输速度可达每秒 10 Gb 以上，这样我们就可以让汽车之间实时共享信息。未来，汽车之间可以交换诸如位置，速度和目的地之类的信息，进而核心控制系统可以基于这些信息，为司机生成个性化指令。通过告诉司机最佳行驶速度、最佳车道或最佳路线，不仅可以消除走走停停的现象，还可以提高交通安全性，如下图所示。
第二阶段问题：
1. 如果车辆之间的互联非常普及，所有车辆都可以自动驾驶，请建立数学模型探讨是否有可能取消路口的红绿灯？这样的通行效率相比有红绿灯时候是否会提高？
2. 在一个平均通过速度为 15 公里每小时的路口，一辆执行任务的消防车想以 40 公里每小时的速度快速通过，控制系统应该如何进行调度？
整体求解过程概述(摘要)
本文针对十字路口发生交通故障时，为尽快疏散堵塞车辆进行分析研究，以题目所给插图进行分析假设，假设故障发生在东西走向。
首先，对南北方向与东西方向的车流量和绿灯时间进行假设分析，列出南北方向与东西方向红绿灯调整系数与各方向上绿灯通行时间之间的关系；由于假设故障发生在东西方向，所以着重研究东西方向上直行车辆与左转车辆的数量，直行通行时间与左转通行时间，从而给出东西方向红绿灯左转与直行调整系数与直行车数量、左转车数量之间的关系[1]。从而根据以上关系计算出南北方向、东西方向中直行与左转的红绿灯时间（绿灯时间规划）[2]。
其次，随着科学技术的发展，网络技术的不断跟新换代，车辆已经可以做到自动接收无线信号，从而自动调整行驶路线与方向。因此，可以通过道路上的车流量情况动态规划红绿灯的开闭时间，从而完善红绿灯时间的规划[3]，到达更快疏散堵塞路段的效果。
最后，着重分析十字路口严重堵车时，左转和直行车辆的多少对疏散交通所用时间造成的影响[4]。列出绿灯时间与车身长、车距与速度之间的关系，确定直行绿灯时间与左转绿灯时间的最佳比例，从而在最短时间内使十字路口的离开率大于到达率，以达到最佳疏散效果。
问题二立足于所有车辆均可实现自动驾驶进行研究。首先对原始红绿灯使用过程中存在浪费绿灯时间进行数据统计与分析后可见传统红绿灯在某些时段会存在浪费绿灯时间的情况。取消红绿灯后将十字路口看作服务台，每辆车看作顾客，提出优先级服务公式，并且给出某辆车接受服务时，其它车道车辆是否允许通过十字路口做出规定。从而得到没有红绿灯车辆该如何安全高效地通过十字路口的模型[4]。
在问题二中严格禁止可能会与接受服务车辆发生碰撞的车道内车辆的通行。问题三中研究当消防车以高于其它车辆速度的速度通过十字路口时，其它车道内车辆可能会与之发生碰撞的情况及相关车辆之间可能发生碰撞的情况，分析车辆加速度与减速通过距离之间的关系。为了避免发生碰撞，调度系统应做出相应调整来避开碰撞，因为消防车要与其他车辆错开通过十字路口，且其他车辆之间也可能发生交通事故，需要考虑的因素极多，所以我们通过计算消防车与其他车辆相撞点和其他车辆与其他车辆相撞点来减少需要考虑的因素，从而把复杂的模型简化。只要其他车辆在消防车或其他车辆到达相撞点时，通过变速不同时到达相撞点，就不会发生碰撞，从而既让消防车快速通过，其他车也不耽搁时间，又不发生交通事故。
问题分析：
交通拥堵主要与十字路口行驶车辆的流量、红绿灯时间和交通故障等诸多因素有关。
针对问题 1：主要考虑发生交通故障时，通过调整车辆行驶方向和控制红绿灯时长来解决交通拥堵问题。在十字路口交通高峰期最高峰值是 500 辆/小时，而在此时发生交通故障，有一条路的两车道都停用 30 分钟，在道路恢复正常使用前，主控中心通过网络给车辆发送行驶的调度指令从而改变行驶车辆的行驶方向和自动控制红绿灯时间来将道路通行时间降到最低。因为车身长度和车距对通过红绿灯的时间有一定的影响，所以我们规定车身和车距为一个固定住，从而简化模型，降低车身和车距对交通拥堵的影响。通过计算红绿灯调整系数来确定红绿灯时间的调整方案，根据题中情况要使拥堵处在最短时间内疏散，再进行左转与直行的情况分析，从而得出最短时间疏散的方案。
针对问题 2：红绿灯是每个路口必备的交通指挥系统，也降低了交通事故发生概率，然而在很多各个方向上的车辆数量有较大差异，导致红绿灯时间分配不均匀。使得司机等待时间过长，大大降低了交通效率。对此为解决该问题我们在自动驾驶的前提下，根据不同车辆等待时间与通过路口所需时间长短，来确定各个车辆先后行驶顺序。达到各车辆等待时间大体相同，同时也提高十字路口的通行效率。
针对问题 3：若消防车要以稳定的速度 40km/h 安全通过路口，那么其他车辆必须针对本身位置与消防车位置的不同，来做出不同的速度改变，而速度因加速度改变，所以主要研究方向为其他车辆加速度改变情况。碰撞时要满足两辆车同时到达相撞点，故我们可以算出两辆车相撞时所需加速度，所需位置情况，所需时间，等因素的联系。要使车辆不相撞则不满足该条件即可。
模型假设：
第一阶段：
1. 每辆车通过故障路段所用时间与换道所用时间相同；
2. 各个车辆行驶速度相同；
3. 所有车辆车身长相等；
4. 所有车辆之间的车距都相等。
第二阶段：
1.把车辆当做质点；
2.把单方向中的两条车道看为一条，不考虑往固定行驶时，车辆在两条车道中变
道产生的影响。
论文缩略图：
全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可
部分程序代码：(代码和文档not free)
#include
Graph::Graph()
{
MAX_INT = 999999;
}
void Graph::clear()
{
delete[] mat;
for(int i=0; i<num;i++)
{
delete[] dist[i];
delete[] path[i];
}
delete[] path;
delete[] dist;
spath.clear();
nodes.clear();
}
bool Graph::readFile(QString fileName)
{
QFile f(fileName);
QFileInfo fileInfo;
fileInfo.setFile(fileName);
if(fileInfo.suffix()!= "map")
return false;
if(!f.open(QIODevice::ReadOnly | QIODevice::Text))
{
qDebug()<<fileName+" : Open failed";
return false;
}
QTextStream inStream(&f);
inStream.readLine();
m = inStream.readLine().toInt();
n = inStream.readLine().toInt();
num = m*n;
dist = new int*[num];
path = new int*[num];
for(int i=0; i<num;i++)
{
dist[i] = new int[num];
path[i] = new int[num];
}
QStringList strList = inStream.readLine().split(QRegularExpression("\\s+"));
for(int i=0; i<num; i++)
{
Node newNode;
newNode.nodeName =strList[i];
newNode.pos = QPoint(i%n,i/n);
nodes.push_back(newNode);
qDebug()<<newNode.nodeName<<QString("(%1,%2)").arg(newNode.pos.x()).arg(newNode.pos.y());
}
while(!inStream.atEnd())
{
QString str = inStream.readLine();
if(str == "")
continue;
QStringList slist = str.split(QRegularExpression("\\s+"));
int Id1 = getID(slist[0]);
int Id2 = getID(slist[1]);
Succeed s1(Id2,slist[2].toInt());
Succeed s2(Id1,slist[2].toInt());
nodes[Id1].succeeds.push_back(s1);
nodes[Id2].succeeds.push_back(s2);
}
return true;
}
void Graph::printGraph()
{
for(int i=0; i<nodes.size();i++)
{
qDebug()<<QString("Node%1(%2) :").arg(i).arg(nodes[i].nodeName);
for(int k=0; k<nodes[i].succeeds.size();k++)
{
qDebug()<<QString("-- Suc%1(%2) : %3").arg(nodes[i].succeeds[k].id).arg(getName(nodes[i].succeeds[k].id)).arg(nodes[i].succeeds[k].value);
}
}
}
int Graph::getID(QString nodeName)
{
for(int i=0; i<nodes.size(); i++)
{
if(nodes[i].nodeName == nodeName)
return i;
}
return -1;
}
QString Graph::getName(int id)
{
return nodes[id].nodeName;
}
void Graph::setNodeObstacle(QPoint p)
{
for(int i=0; i < num;i++)
{
if(nodes[i].pos == p)
{
nodes[i].isObstacle = !nodes[i].isObstacle;
break;
}
}
}
void Graph::getMat()
{
mat = new int[num*num];
for(int i=0; i<num; i++)
{
for(int k=0; k<num; k++)
{
mat[i*num+k] =MAX_INT;
if(i==k)
mat[i*num+k]=0;
}
}
for(int i=0; i<nodes.size();i++)
{
for(int k=0; k<nodes[i].succeeds.size();k++)
{
mat[i*num+nodes[i].succeeds[k].id] = nodes[i].succeeds[k].value;
}
}
}
void Graph::Floyd()
{
for(int i=0; i<num;i++)
{
for(int k=0; k<num;k++)
{
dist[i][k] = mat[i*num+k];
path[i][k] = i;
}
}
for(int k=0; k<num;k++)
{
if(nodes[k].isObstacle)
continue;
for(int i = 0; i<num; i++)
{
if(nodes[i].isObstacle)
continue;
for(int j = 0; j<num; j++)
{
if(nodes[j].isObstacle)
continue;
if(dist[i][k]+dist[k][j] <dist[i][j])
{
dist[i][j] = dist[i][k]+dist[k][j];
path[i][j] = path[k][j];
}
}
}
}
}
bool Graph::getShortestPath(QString nodeName)
{
spath.clear();
int k=getID(nodeName);
if(dist[0][k] >= MAX_INT)
return false;
spath.push_back(k);
do{
spath.push_back(path[0][k]);
k = path[0][k];
}while(k != path[0][0]);
return true;
}
