《数字图像处理-OpenCV/Python》连载：傅里叶变换与频域滤波

《数字图像处理-OpenCV/Python》连载：空间滤波之高斯滤波器

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第 11 章傅里叶变换与频域滤波

空间图像滤波是图像与滤波器核的卷积，而空间卷积的傅里叶变换是频域中相应变换的乘积。因此，频域图像滤波是通过频域滤波器（传递函数）与图像的傅里叶变换相乘得到的。频域中的滤波概念更加直观，滤波器设计也更容易。

本章内容概要

学习二维离散傅里叶变换的实现方法，介绍快速傅里叶变换的原理。
学习频域滤波的基本步骤，以及构造滤波器传递函数的基本方法。
学习常用的频域滤波器，如理想滤波器、高斯滤波器、巴特沃斯滤波器。
介绍低通、高通、带通、带阻滤波器的关系，构造选择性滤波器。
认识和比较空间滤波与频域滤波。

11.3　频域滤波的基本步骤

傅里叶变换的目的是将图像从空间域转换到频域，在频域内进行图像处理。

空间取样和频率间隔是相互对应的，频域中的样本间隔与空间样本间隔及样本数量的乘积成反比。空间滤波器和频域滤波器也是相互对应的，二者能形成如下的傅里叶变换对。

因此，计算两个函数的空间卷积，可以直接在空间域计算，也可以在频域计算。先计算每个函数的傅里叶变换，再将两个变换相乘，最后进行傅里叶逆变换转换回空间域。

频域图像滤波首先要对原始图像 f(x,y）做傅里叶变换 F(u,v) ；然后用滤波器传递函数 H(u,v) 对傅里叶变换的频谱进行处理，做傅里叶逆变换返回空间域，得到滤波图像 g(x,y)。具体变换过程如下。

（1）对原始图像 f(x,y）进行傅里叶变换和中心化，得到 F(u,v) 。
（2）将图像的傅里叶变换 F(u,v) 与滤波器传递函数 H(u,v) 相乘，得到滤波频谱 G(u,v) 。
（3）对 G(u,v) 进行逆中心化和傅里叶逆变换，得到滤波图像 g(x,y)。

使用尺寸最优扩充的快速傅里叶变换时，还包括变换前的图像扩充和变换后的图像裁剪。

【例程1104】频域图像滤波的基本步骤

本例程以理想低通滤波器为例，示范频域图像滤波的基本步骤。

设计低通滤波器的过程，是构造二维掩模图像的过程。简单地，构造一个中心开窗的遮罩图像，在黑色图像的中心区域设有白色窗口，就构成了一个低通滤波器。

# 【1104】频域图像滤波的基本步骤
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def ideaLPF(height, width, radius=10):  # 理想低通滤波器
    u, v = np.mgrid[-1:1:2.0/height, -1:1:2.0/width]
    Dist = cv.magnitude(u, v)
    D0 = radius/height  # 滤波器半径
    kernel = np.zeros((height, width), np.uint8)
    kernel[Dist <= D0] = 1
    return kernel

if __name__ == '__main__':
    # img = cv.imread("../images/Fig0515a.tif", flags=0)  # 读取为灰度图像
    img = cv.imread("../images/Fig1101.png", flags=0)  # 读取灰度图像
    height, width = img.shape[:2]  # (688,688)

    # (1) 对图像进行傅里叶变换，并将低频分量移动到中心
    imgFloat = img.astype(np.float32)  # 将图像转换成 float32
    dft = cv.dft(imgFloat, flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # (512,512,2)
    dftShift = np.fft.fftshift(dft)  # (512,512,2)

    r = [30, 60, 90]  # 低通滤波器的半径
    plt.figure(figsize=(9, 6))
    for i in range(3):
        # (2) 构造低通滤波器
        mask = ideaLPF(height, width, r[i])  # 理想低通滤波器
        maskDual = cv.merge([mask, mask])  # 拼接为两个通道：(h,w,2)
        # maskAmp = cv.magnitude(mask, mask)  # 幅度谱

        # (3) 修改傅里叶变换实现频域图像滤波
        dftMask = dftShift * maskDual  # 两个通道分别为实部和虚部

        # (4) 逆中心化后进行傅里叶逆变换
        iShift = np.fft.ifftshift(dftMask)  # 将低频逆转换回图像四角
        iDft = cv.idft(iShift)  # 傅里叶逆变换
        iDftMag = cv.magnitude(iDft[:,:,0], iDft[:,:,1])  # 重建图像
        imgLPF = np.uint8(cv.normalize(iDftMag, None, 0, 255, cv.NORM_MINMAX))

        plt.subplot(2,3,i+1), plt.title("Mask (r={})".format(r[i]))
        plt.axis('off'), plt.imshow(mask, cmap='gray')
        plt.subplot(2,3,i+4), plt.title("LPF image (r={})".format(r[i]))
        plt.axis('off'), plt.imshow(imgLPF, cmap='gray')

    print(img.shape, dft.shape, maskDual.shape)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

运行结果：

程序说明：

（1） OpenCV中的傅里叶变换结果保存为实部和虚部两个通道，dft的形状为(h,w,2)。因此要把单通道滤波器mask拼接为两个通道的maskDual，才能将dft与maskDual相乘。
（2）傅里叶变换和傅里叶逆变换的结果都包括实部和虚部，使用函数cv.magnitude转换为幅度谱才能得到显示图像。
（3）函数cv.dft的可选参数较多，在设置转换类型标志时不能省略关键字flags。
（4）运行结果，频域滤波之理想低通滤波器如图11-2所示。从图中可以发现，低通滤波器的截止频率越小，保留的低频信息越少，滤除的高频信息越多，图像越模糊。这与空间域低通滤波的结果是一致的。
（5）注意，滤波器传递函数与图像傅里叶变换进行乘法运算时，不能使用函数cv.multiply，因其是饱和运算。

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