假设你跟朋友通过打赌投篮来打赌一万块。你们找到一个篮球框，然后约定轮流投篮，谁先投进谁赢。假设你投进的概率是 p，也就是投不进的概率是 1-p，你对手投进的概率是 q,投不进的概率是 1-q，如果由你先投，那么你取胜的概率是多少。

在上面问题中我们把事情进行了理想化假设。也就是你和对手的准度不会变，不管你们投了 10 次还是 100 次，你们状态都保持一致，投入的概率永远不变。这个问题涉及到概率论中一个大类问题，那就是成功率为 p 的情况下，我们需要执行多少次试验才能获得第一次成功。要解决这个问题，我们首先需要了解几何不等式：

假设 |r| < 1，那么有：

假设你在第 n 次投篮时，你投进获得了胜利，我们看基于 n 如何推导出取胜的规律来。如果 n=1，这意味着你第一次投就成功，对应的概率就是 p，如果 n=2，那意味着你投第一次不中概率为 1-p，然后对手投第一次同样不中，概率为 1-q，然后你投第二次结果中了，概率为 p，此时对应的概率就是(1-p)(1-q)p，如果我们这里用字符 r 替代(1-p)(1-q)，那么对应概率就简化为 rp，如果 n=3，那说明你前两次不中，概率就是(1-p) ^ 2,对方前两次也不中，概率为(1-q) ^ 2,然后你第三次中了，于是概率就是(1-p) ^ 2 * (1-q) ^ 2 * p ，由于我们使用 r 代替(1-p)(1-q),因此(1-p) ^ 2 * (1-q) ^ 2 就可以简化为 r ^ 2,于是概率就是 r ^2 * p，由此我们就能推而广之，那就是当你在第 n 次投篮时成功对应的概率就是 r ^( n-1) * p。

由此我们就能推断，你在竞争中获胜的概率，那就是头一次就赢的概率加上投两次就赢的概率…，加上投 n 次就赢的概率，于是有:

注意这里的 r 是替代(1-p)(1-1)。于是我们用前面提供的公式就可以把上面式子简化为：

${\sum }_{n=0}^{\infty }{r}^{n}p=p{\sum }_{n=0}^{\infty }{r}^n=\frac{p}{1-r}$
事实上我们可以推导出上面的结论而不需要前面的几何级数公式。是想你第一次投篮就赢的概率是 p,如果你第一次不进，那么你要赢得比赛就需要对手第一次也不能进，此时你赢得概率没有变，就如同第一轮比赛没有发生过一样。如果使用 x 表示你赢的概率，那么 x 就等于你第一次投进的概率，加上你第一次不进，对方也第一次不进，然后乘以你赢的概率，也就是 x = p+(1-p)*(1-q)*x,如果我们把 x 解出来，那么就要 x = p / (1-r)，可以看到我们第二种推导逻辑要比第一种简单和巧妙的多。

下面我们来点高级货，搞点微积分玩玩，这里的推导在后面的章节中会有大用处。有过高数学习经验的同学或许都了解过一个概念叫分部积分，要计算一个复杂的积分，我们需要把积分内的变量做各种代换才能计算出结果，我们看个例子，假设要计算如下积分，也就是公式(1)：

我们需要做如下替换：

然后使用微分计算就有：
根据分部积分规则：

把上面步骤结合起来就有也就是公式(2)：

由于：

由此公式（2）就转换为下面的公式（3）：

同理我们再次实现分部积分处理公式（3）右边部分的积分，先做如下替换：

于是根据微分计算规则就有:

由此公式（3）就转换为下面的公式（4）：

由于：

把上面推导代入公式（4），我们得到下面的公式（5）：

这里注意到根据公式 1：

公式（5）就可以化简为下面的公式（6）：

我们把变量 I 从公式（6）中解出来就有：

这样我们就解开了公式（1），于是就有如下公式（7）：

至此我们解决了一个复杂微积分的计算问题，在这里我们也能体会到为何很少有人能在数学上有所积累，其实不在于它有多复杂而在于其过程的繁琐，在上面一系列步骤的引出中，只要有一步你没搞懂，那么后面推导就搞不懂，另外按下葫芦浮起瓢，你看到步骤 5,6 就会忘了步骤 3,4，因此需要我们反复琢磨才能把所有逻辑搞懂。当然付出肯定会有回报，有好的数学基础才能掌握复杂的大语言模型算法，或许爬山金字塔顶端并非路程有多难走，而是我们没有那个耐心持续走下去。

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