回溯法：回溯法通用模版汇总以及模版应用

从一个问题开始

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4] ]

很容易想到 用两个for循环就可以解决。

如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。

此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！

回溯法的本质

回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下(但最坏时间复杂度一般来说还是2^n)，还没有更高效的解法。

搜索空间： 子集树

比如简单背包问题的解空间，本质就是一个满二叉树，只不过会通过剪枝避免暴力得出所有可能的解。

这里介绍的模版不会在求解时进行剪枝，因为本人认为这会让一个模版变得较为复杂，可能达到真正意义上的“通用性”，而是在获取到所有可能的解之后再按题目的要求进行筛选。

回溯法:0-1背包问题-CSDN博客

其中两个可行解为：

<0,1,1,1>:x_1=0,x_2=1,x_3=1,x_4=1\\ <1,0,1,0>:x_1=1,x_2=0,x_3=1,x_4=0

一个回溯法模版回顾

参考文章：代码随想录

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

 这个模版使用最大的难点就是如何写出终止条件，在递归过程中来存放结果往往会使得这个模版用起来较为困难。所以接下来介绍的模版是直接拿到所有的解之后再按条件进行筛选

暴力回溯法的模版

亮点在于容易写出来，缺点在回溯中没有用到剪枝，最好最坏时间复杂度都为2^n

本质就是拿到一个高为N的树所有的叶子结点

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class KnapsackProblem1 {
    static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    //path记录所有的可能,最后结果总共个数必定为2^N
    static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    //N代表着问题规模的大小,即2^N,最终的叶子结点个数就是2^N
    static int N = 4;

    public static void main(String[] args) {
        backtracking();
    }

    public static void backtracking() {
        if (path.size() == N) {
            //找到了一个叶子结点，就保存下来
            //就算这个叶子结点是不满足题目的要求也保存下来
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        //往1走代表选择这个元素
        path.add(1);
        backtracking();
        path.removeLast();
        //往0走代表不选择这个元素
        path.add(0);
        backtracking();
        path.removeLast();
    }
}

易于剪枝的回溯法模版应用

0-1背包问题

 问题描述

给定n种物品和一背包。 物品i的重量是w_i， 其价值为v_i，背包的容量为 c。 问应该如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？注意物品不重复!

实例：物品价值V={12, 11, 9, 8}, 物品重量W={8, 6, 4, 3}, 背包容量c=13

结点：向量(x_1,x_2,...,x_k) （ 子集的部分特征向量）

搜索空间： 子集树，2^n片树叶

其中两个可行解为：

<0,1,1,1>:x_1=0,x_2=1,x_3=1,x_4=1\\ <1,0,1,0>:x_1=1,x_2=0,x_3=1,x_4=0

实现代码

终止条件代码

public static void backtracking(int n,  int startIndex) {
    if (startIndex>=n){
        //此时startIndex越界了
        if (getPathSum()<=c){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        return;
    }
    //再加后面任意一个就肯定不够了
    if (getPathSum()<=c&&(getPathSum() + items_min_weight[startIndex]) > c) {
        //        if (getPathSum()<c) {
        result.add(new ArrayList<>(path));
        return;
    }
    for (int i = startIndex; i < n; i++) {
        path.add(i);
        backtracking(n,  i + 1);
        path.removeLast();
    }

最终代码(含注释)

需要注意的是这里的可行，是再加上未选中的任意一项就>背包容量C

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class KnapsackProblem {
    static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();

    static int N = 4;
    //    static int[] items_weight = new int[N];
    static int[] items_weight = {8, 6, 4, 3};
    //    static int[] items_value = new int[N];
    static int[] items_value = {12, 11, 9, 8};
    //每个items_min_weight(对应下标为i)的值为min{items_weight[i],...,items_weight[N-1]}
    static int[] items_min_weight = new int[N];
    //c为背包的容量
    static int c=13;

    public static void main(String[] args) {
        items_min_weight[N - 1] = items_weight[N - 1];
        int min = items_min_weight[N - 1];
        for (int i = items_weight.length - 2; i >= 0; i--) {
            if (items_weight[i] < min) {
                min = items_weight[i];
            }
            items_min_weight[i] = min;
        }
        backtracking(N,  0);
        System.out.println("可行解有:");
        result.forEach(System.out::println);
        //要是想求最优解,直接对每个可行解对应重量求和,之后取最大一个就好啦
    }

    public static void backtracking(int n,  int startIndex) {
        if (startIndex>=n){
            //此时startIndex越界了
            if (getPathSum()<=c){
                result.add(new ArrayList<>(path));
                return;
            }
            return;
        }
        //再加后面任意一个就肯定不够了
        if (getPathSum()<=c&&(getPathSum() + items_min_weight[startIndex]) > c) {
            //        if (getPathSum()<c) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < n; i++) {
            path.add(i);
            backtracking(n,  i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }

    public static int getPathSum() {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < path.size(); i++) {
            sum += items_weight[path.get(i)];
        }
        return sum;
    }
}

八皇后问题

问题背景

八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于1850年提出的。

• 问题是：在8×8的棋盘上摆放八个皇后， 使其不能互相攻击， 即任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上。

• n皇后问题：即在n× n的棋盘上摆放n个皇后， 使任意两个皇后都不能处于同一行、 同一列或同一斜线上。

搜索空间:N叉树

4后问题：解是一个4维向量， (x1, x2, x3, x4)（放置列号），这里x1为第一行，x2为第二行，以此类推。

搜索空间： 4叉树

8后问题：解是一个8维向量， (x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8)

搜索空间： 8叉树,一个解： <1,3,5,2,4,6,8,7>

问题分析

确定问题状态： 问题的状态即棋盘的布局状态。

构造状态空间树： 状态空间树的根为空棋盘，每个布局的下一步可能布局是该布局结点的子结点。

由于可以预知，在每行中有且只有一个皇后，因此可采用逐行布局的方式，即每个布局有n个子结点

⚫ 设4个皇后为xi， 分别在第i行(i=1， 2， 3， 4)；

⚫ 问题的解状态：可以用(1, x1)， (2, x2)， ……， (4, x4)表示4个皇后的位置；

⚫ 由于行号固定， 可简单记为： (x1, x2, x3, x4)；例如：(4, 2, 1, 3)

⚫ 问题的解空间： (x1, x2, x3, x4)， 1≤xi≤4 (i=1， 2， 3， 4)， 共4! 个状态；

4皇后问题解空间的树结构

约束条件

⚫ 任意两个皇后不能位于同一行上;

⚫ 任意两个皇后不能位于同一列上，所以解向量X必须满足约束条件：i\ne j,x_i\ne x_j

搜索解空间中进行剪枝

（1） 从空棋盘起， 逐行放置棋子。

（2） 每在一个布局中放下一个棋子， 即推演到一个新的布局。

（3） 如果当前行上没有可合法放置棋子的位置，则回溯到上一行， 重新布放上一行的棋子。

以4皇后问题为例

为了简化问题， 下面讨论4皇后问题。4皇后问题的解空间树是一个完全4叉树， 树的根结点表示搜索的初始状态， 从根结点到第2层结点对应皇后1在棋盘中第1行可能摆放的位置， 从第2层到第3层结点对应皇后2在棋盘中第2行的可能摆放的位置， 以此类推。

回溯法求解4皇后问题的搜索过程

n=4的n皇后问题的搜索、 剪枝与回溯

代码思路

参考文章：代码随想录

回溯模板

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

递归终止条件

if (row == n) {
    result.push_back(chessboard);
    return;
}

单层搜索的逻辑

for (int col = 0; col < n; col++) {
    if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放
        chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
        backtracking(n, row + 1, chessboard);
        chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后
    }
}

验证棋盘是否合法

按照如下标准去重：

不能同行(搜索过程从上到下自动解决了这个问题)

不能同列

不能同斜线 （45度和135度角）

实现代码与相关解释

package DaiMaSuiXiangLu;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class N_queen {
    //res用来存储可能的结果
    static List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public static void main(String[] args) {
        int n = 4;
        //画棋盘n*n
        char[][] chessboard = new char[n][n];
        for (char[] c : chessboard) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backTrack(n, 0, chessboard);
        for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
            System.out.println("方案"+(i+1));
            for (int j = 0; j < res.get(i).size(); j++) {
                System.out.println(res.get(i).get(j));
            }
        }
    }

    /**
     * @param n          棋盘的大小
     * @param row        当初正在处理哪一行
     * @param chessboard 当前棋盘的状况
     */
    public static void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
        if (row == n) {
            //将结果赋给的新的list
            //这是因为List是引用类型，需要每次开辟新的空间给一个新的list来保存结果
            res.add(Array2List(chessboard));
            return;
        }
        for (int col = 0; col < n; ++col) {
            //剪枝操作,暴力点也可以不剪枝，对最后保存下来的多个结果去检查他们的合法性
            //尝试对该行的每一列放置皇后
            if (isValid(row, col, n, chessboard)) {
                chessboard[row][col] = 'Q';
                backTrack(n, row + 1, chessboard);
                chessboard[row][col] = '.';
            }
        }
    }
    //用于生成新的list
    public static List Array2List(char[][] chessboard) {
        List<String> list = new ArrayList<>();

        for (char[] c : chessboard) {
            list.add(String.copyValueOf(c));
        }
        return list;
    }

    /**
     *
     * @param row 当前递归是在row行,col列放置了一个新的皇后
     * @param col 当前递归是在row行,col列放置了一个新的皇后
     * @param n 棋盘大小
     * @param chessboard 当前棋盘的状况
     * @return 是否违背了合法性
     */
    public static boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
        //行无需检查,因为backTrack的递归保证了每一行只有一个皇后
        // 检查列
        for (int i = 0; i < row; ++i) { // 相当于剪枝
            if (chessboard[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // 检查45度对角线
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        // 检查135度对角线
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j <= n - 1; i--, j++) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

}

暴力回溯法模版应用

组合问题

回到文章开头的问题

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4]]

添加的solveCombinationProblem仅仅是用来筛选满足条件的解

package DaiMaSuiXiangLu;

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class KnapsackProblem1 {
    static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    //path记录所有的可能,最后结果总共个数必定为2^N
    static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    //N代表着问题规模的大小,即2^N,最终的叶子结点个数就是2^N
    static int N = 4;

    public static void main(String[] args) {
        //组合问题
        int K = 2;
        solveCombinationProblem(K);


    }

    public static void backtracking() {
        if (path.size() == N) {
            //找到了一个叶子结点，就保存下来
            //就算这个叶子结点是不满足题目的要求也保存下来
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        path.add(1);
        backtracking();
        path.removeLast();
        path.add(0);
        backtracking();
        path.removeLast();
    }
    public static void solveCombinationProblem(int k) {
        int time = 0;
        for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
            //用来记录该叶子结点中1的个数
            time = 0;
            List<Integer> answer = result.get(i);
            for (int j = 0; j < answer.size(); j++) {
                if (answer.get(j) == 1) {
                    time++;
                }
            }
            if (time == k) {
                for (int j = 0; j < answer.size(); j++) {
                    if (answer.get(j) == 1) System.out.print((j + 1) + " ");
                }
                System.out.println();
            }

        }
    }
}

0-1背包问题 

用之前回溯法的模版会发现终止条件不好写出来

回溯法:0-1背包问题-CSDN博客

但用该文章推荐的模版很好地解决这个问题

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class KnapsackProblem1 {
    static List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    //path记录所有的可能,最后结果总共个数必定为2^N
    static LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    //N代表着问题规模的大小,即2^N,最终的叶子结点个数就是2^N
    static int N = 4;

    public static void main(String[] args) {
        backtracking();
        //背包问题
        int[] items_weight={8,6,4,3};
        int[] items_value={12,11,9,8};
        int C=13;
        solveKnapsackProblem(items_weight,items_value,C);

    }

    public static void backtracking() {
        if (path.size() == N) {
            //找到了一个叶子结点，就保存下来
            //就算这个叶子结点是不满足题目的要求也保存下来
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        path.add(1);
        backtracking();
        path.removeLast();
        path.add(0);
        backtracking();
        path.removeLast();
    }

    public static void solveKnapsackProblem(int[] items_weight, int[] items_value, int C) {
        //值得注意的是items_weight和items_value的长度都为N
        int sum_weight = 0;
        int sum_value = 0;
        //记录现在能达到的最大价值
        int max_value = -1;
        for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
            sum_weight = 0;
            sum_value = 0;
            List<Integer> answer = result.get(i);
            for (int j = 0; j < answer.size(); j++) {
                if (answer.get(j) == 1) {
                    sum_value += items_value[j];
                    sum_weight += items_weight[j];
                }
            }
            //不高于背包容量且比之前找到的最大价值还大
            if (sum_weight <= C && sum_value > max_value) {
                max_value = sum_value;
            }
        }
        System.out.println(max_value);
    }
}

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Docker搭建MySQL8主从复制

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之前文章我们了解了面试官&#xff1a;说一说Binlog是怎么实现的&#xff0c;这里我们用Docker搭建主从复制环境。 docker安装主从MySQL 这里我们使用MySQL8.0.32版本&#xff1a; 主库配置 master.cnf //基础配置 [client] port3306 socket/var/run/mysqld/mysql.sock [m…
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三分钟学懂C语言关键字——const

三分钟学懂C语言关键字——const

1&#xff0c;const修饰普通变量 const类型变量名常量; //类型&#xff1a;int char short 等等 类型const变量名常量; //举例&#xff1a;const int a5; int const a5;这两种写法表示a的值不能够改变 当我们直接改变const修饰的普通变量时&#xff0c;编译器会报…
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Map和Set的封装

Map和Set的封装

目录 一、底层原理 二、红黑树的节点 三、仿函数 四、迭代器 4.1、迭代器的定义&#xff1a; 4.2、*:解引用操作 4.3、->:成员访问操作符 4.4、!、 4.5、迭代器的&#xff1a; 4.6、迭代器的-- 五、Map 六、Set 七、红黑树源码 一、底层原理 我们要知道&#…
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Docker 安装篇（CentOS）

Docker 安装篇（CentOS）

Docker社区版 Docker从1.13版本之后采用时间线的方式作为版本号&#xff0c;分为社区版CE和企业版EE。 社区版是免费提供给个人开发者和小型团体使用的&#xff0c;企业版会提供额外的收费服务&#xff0c;比如经过官方测试认证过的基础设施、容器、插件等。 1、Docker 要求 C…
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【Redis】整理

【Redis】整理

对于现代大型系统而言&#xff0c;缓存是一个绕不开的技术话题&#xff0c;一提到缓存我们很容易想到Redis。 Redis整理&#xff0c;供回顾参考
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JVM系列——垃圾收集器Parrlel Scavenge、CMS、G1常用参数和使用场景

JVM系列——垃圾收集器Parrlel Scavenge、CMS、G1常用参数和使用场景

背景 当前在Java领域&#xff0c;JDK 8版本仍然享有广泛的使用&#xff0c;它支持了Parallel Scavenge、CMS和G1这几种垃圾收集器。因此&#xff0c;为了在业务应用中更加高效地进行开发和性能调优&#xff0c;我们需要对这些垃圾收集器的工作原理和特性有一个全面的理解和认识…
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【Linux】vim的简单使用

【Linux】vim的简单使用

我们知道在Windows下的VS2019是一个集成开发环境&#xff0c;也就是说&#xff0c;集编辑&#xff0c;编译&#xff0c;调试等功能都放在了一起&#xff1b;但是在Linux下&#xff0c;这些步骤都是分开的&#xff0c;我们这篇博客就来说一说vim这个编辑器&#xff0c;它只有编辑…
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Android平台如何实现RTSP转GB28181

Android平台如何实现RTSP转GB28181

为什么要做GB28181设备接入侧&#xff1f; 实际上&#xff0c;在做Android平台GB28181设备接入模块的时候&#xff0c;我们已经有了非常好的技术积累&#xff0c;比如RTMP推送、轻量级RTSP服务、一对一互动模块、业内几乎最好的RTMP|RTSP低延迟播放器。 Android平台GB28181接…
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clickhouse在MES中的应用-跟踪扫描

clickhouse在MES中的应用-跟踪扫描

开发的MES&#xff0c;往往都要做生产执行跟踪扫描&#xff0c;这样会产生大量的扫描数据&#xff0c;用关系型数据库&#xff0c;很容易造成查询冲突的问题。 生产跟踪扫描就发生的密度是非常高的&#xff0c;每个零部件的加工过程&#xff0c;都要被记录下来&#xff0c;特别…
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在Linux中对Nginx进行安全加固

在Linux中对Nginx进行安全加固

准备工作 在IP为x.x.x.x的服务器上安装nginx&#xff0c;确保Linux系统为nginx环境。 检查nginx是否配置nginx账号锁定策略 配置nginx账号锁定策略&#xff0c;降低被攻击概率。 第一步&#xff0c;查看nginx的锁定状态。 命令&#xff1a;passwd -S nginx 若结果出现“P…
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vivado 制定执行策略

vivado 制定执行策略

制定执行策略 策略是一组到工具的开关&#xff0c;这些开关在预先配置的一组选项中定义用于合成应用程序或在实现期间运行的各种实用程序和程序。每个主要版本都有特定于版本的策略选项。 视频&#xff1a;有关更多信息&#xff0c;请参阅以下内容&#xff1a;Vivado Design …
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在Flutter中调用Android的代码

在Flutter中调用Android的代码

参考 【Flutter 混合开发】嵌入原生View-Android 默认使用Android studio 和 Kotlin 基本配置 创建flutter项目 在终端执行 flutter create batterylevel添加 Android 平台的实现 打开项目下的android/app/src/main/kotlin 下的 MainActivity.kt 文件。 我这里编辑器有…
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MicroPython ESP32开发：快速参考

MicroPython ESP32开发：快速参考

ESP32是使用非常广泛的一款微处理器&#xff0c;集成了WiFi和蓝牙模块&#xff0c;根据性能和应用场景的不同有很多不同的版本&#xff0c;本文是ESP32开发板在MicroPython环境下运行的快速参考&#xff0c;对于首次使用这个开发板在MicroPython下进行开发的应该会有一定的帮助…
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会计的记账凭证

会计的记账凭证

目录 一. 记账凭证的填制与审核1.1 收付款凭证1.2 转账凭证1.3 单式记账凭证 二. 记账凭证的编号 \quad 一. 记账凭证的填制与审核 \quad \quad 1.1 收付款凭证 \quad 注意︰ 凡是涉及货币资金之间收付款的业务如将库存现金存入银行或从银行提取现金等类经济业务。在实际工作中…
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探索设计模式的魅力：为什么你应该了解装饰器模式-代码优化与重构的秘诀

探索设计模式的魅力：为什么你应该了解装饰器模式-代码优化与重构的秘诀

设计模式专栏&#xff1a;http://t.csdnimg.cn/nolNS 开篇 在一个常常需要在不破坏封装的前提下扩展对象功能的编程世界&#xff0c;有一个模式悄无声息地成为了高级编程技术的隐形冠军。我们日复一日地享受着它带来的便利&#xff0c;却往往对其背后的复杂性视而不见。它是怎样…
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