[CSP-S 2022] 策略游戏

题目描述

小 L 和小 Q 在玩一个策略游戏。

有一个长度为 $n$ 的数组 $A$ 和一个长度为 $m$ 的数组 $B$，在此基础上定义一个大小为 $n\times m$ 的矩阵 $C$，满足 $C_{ij}=A_i\times B_j$。所有下标均从 $1$ 开始。

游戏一共会进行 $q$ 轮，在每一轮游戏中，会事先给出 $4$ 个参数 $l_1,r_1,l_2,r_2$，满足 $1\le l_1\le r_1\le n$、$1\le l_2\le r_2\le m$。

游戏中，小 L 先选择一个 $l_1\sim r_1$ 之间的下标 $x$，然后小 Q 选择一个 $l_2\sim r_2$ 之间的下标 $y$。定义这一轮游戏中二人的得分是 $C_{xy}$。

小 L 的目标是使得这个得分尽可能大，小 Q 的目标是使得这个得分尽可能小。同时两人都是足够聪明的玩家，每次都会采用最优的策略。

请问：按照二人的最优策略，每轮游戏的得分分别是多少？

输入格式

第一行输入三个正整数 $n,m,q$，分别表示数组 $A$，数组 $B$ 的长度和游戏轮数。

第二行：$n$ 个整数，表示 $A_i$，分别表示数组 $A$ 的元素。

第三行：$m$ 个整数，表示 $B_i$，分别表示数组 $B$ 的元素。

接下来 $q$ 行，每行四个正整数，表示这一次游戏的 $l_1,r_1,l_2,r_2$。

输出格式

输出共 $q$ 行，每行一个整数，分别表示每一轮游戏中，小 L 和小 Q 在最优策略下的得分。

样例 #1

样例输入 #1

3 2 2
0 1 -2
-3 4
1 3 1 2
2 3 2 2

样例输出 #1

0
4

样例 #2

样例输入 #2

6 4 5
3 -1 -2 1 2 0
1 2 -1 -3
1 6 1 4
1 5 1 4
1 4 1 2
2 6 3 4
2 5 2 3

样例输出 #2

0
-2
3
2
-1

提示

【样例解释 #1】

这组数据中，矩阵 $C$ 如下：

$$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -3& 4\\ 6& -8\end{array}\right]$$

在第一轮游戏中，无论小 L 选取的是 $x=2$ 还是 $x=3$，小 Q 都有办法选择某个 $y$ 使得最终的得分为负数。因此小 L 选择 $x=1$ 是最优的，因为这样得分一定为 $0$。

而在第二轮游戏中，由于小 L 可以选 $x=2$，小 Q 只能选 $y=2$，如此得分为 $4$。

【样例 #3】

见附件中的 game/game3.in 与 game/game3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 game/game4.in 与 game/game4.ans。

【数据范围】

对于所有数据，$1\le n,m,q\le {10}^5$，$-{10}^9\le A_i,B_i\le {10}^9$。对于每轮游戏而言，$1\le l_1\le r_1\le n$，$1\le l_2\le r_2\le m$。

测试点编号	$n,m,q\le$	特殊条件
$1$	$200$	1, 2
$2$	$200$	1
$3$	$200$	2
$4\sim 5$	$200$	无
$6$	$1000$	1, 2
$7\sim 8$	$1000$	1
$9\sim 10$	$1000$	2
$11\sim 12$	$1000$	无
$13$	${10}^5$	1, 2
$14\sim 15$	${10}^5$	1
$16\sim 17$	${10}^5$	2
$18\sim 20$	${10}^5$	无

其中，特殊性质 1 为：保证 $A_i,B_i>0$。
特殊性质 2 为：保证对于每轮游戏而言，要么 $l_1=r_1$，要么 $l_2=r_2$。

分析

此题题目描述并不清晰，甚至用了矩阵和博弈论的描述，很难读懂，不妨对两人的方案分类讨论，若小L已经选择了a，那么小Q就会只关注正负问题：

条件	$a\le 0$	$a>0$
选择	$y_{max}$	$y_{min}$

那么我们需要维护B的最大和最小值
对于小L，他会考虑小Q会怎么走，所以我们需要分类讨论小L的思考：

条件	选择
$a>0,b>0$	$a_{max}$
$a>0,b<0$	$a_{min}$
$a<0,b>0$	$a_{max}$
$a<0,b<0$	$a_{min}$

总共维护4个
对于维护，没有比st表更方便的了，不仅，他也是静态的

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int M = 1e5 + 5;
const int K = 25;
inline bool gmx(int& a, int b) {
    return b > a ? a = b, true : false;
}
int n, m, q, x, la, ra, lb, rb;
int lg[M];
const int maxinf = LONG_LONG_MAX, mininf = LONG_LONG_MIN;
struct st {
    int f[M][K],i;
    void init(int n) {
        for (int j = 1; j <= lg[n]; ++j) {
            for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) {
                int p = i + (1 << (j - 1));
                if(i) f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[p][j - 1]);
                if(!i) f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[p][j - 1]);
            }
        }
    }
    int query(int l, int r) {
        int sa = lg[r - l + 1];
        int pa = r - (1 << sa) + 1;
        if (i) return max(f[l][sa], f[pa][sa]);
        else return min(f[l][sa], f[pa][sa]);
    }
}amax,amin,afx,azn,bmin,bmax;
signed main() {
	amax.i = afx.i = bmax.i = 1;
    amin.i = bmin.i = azn.i = 0;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> x;
        amax.f[i][0] = amin.f[i][0] = x;
        afx.f[i][0] = (x < 0 ? x : mininf);
        azn.f[i][0] = (x >= 0 ? x : maxinf);
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> x;
        bmax.f[i][0] = bmin.f[i][0] = x;
	}
    for (int i = 2; i <= max(n, m); ++i)
        lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
	amax.init(n); afx.init(n);bmax.init(m);
    for (int j = 1; j <= lg[n]; ++j) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i) {
            int p = i + (1 << (j - 1));
            amin.f[i][j] = min(amin.f[i][j - 1], amin.f[p][j - 1]);
            azn.f[i][j] = min(azn.f[i][j - 1], azn.f[p][j - 1]);
        }
    }

    for (int j = 1; j <= lg[m]; ++j) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= m; ++i) {
            int p = i + (1 << (j - 1));
//            bmax.f[i][j] = max(bmax.f[i][j - 1], bmax.f[p][j - 1]);
            bmin.f[i][j] = min(bmin.f[i][j - 1], bmin.f[p][j - 1]);
        }
    }
    while (q--) {
        cin >> la >> ra >> lb >> rb;
        int amax = ::amax.query(la,ra),amin = ::amin.query(la,ra),afmx = ::afx.query(la,ra);
        int azmn = ::azn.query(la,ra),bmax = ::bmax.query(lb,rb),bmin = ::bmin.query(lb,rb);
        int ans = mininf;
        gmx(ans, amax * (amax >= 0 ? bmin : bmax));
        gmx(ans, amin * (amin >= 0 ? bmin : bmax));
        if (afmx != mininf)
            gmx(ans, afmx * (afmx >= 0 ? bmin : bmax));
        if (azmn != maxinf)
            gmx(ans, azmn * (azmn >= 0 ? bmin : bmax));
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}