第九章 动态规划part08
- 139.单词拆分
class Solution { public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) { HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict); boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1]; valid[0] = true; for (int i = 1; i <= s.length(); i++) { for (int j = 0; j < i && !valid[i]; j++) { if (set.contains(s.substring(j, i)) && valid[j]) { valid[i] = true; } } } return valid[s.length()]; } }思路：该题类似于背包问题，字符串s为背包，List集合为物品，首先确定dp数组为boolean，确定递推公式：如果从j到i可以由wordDict组成且前面的dp数组为true，那么i的dp数组赋值为true。
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动态规划：关于多重背包，你该了解这些！
本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第56题 (opens new window)去练习，题意是一样的。
之前我们已经系统的讲解了01背包和完全背包，如果没有看过的录友，建议先把如下三篇文章仔细阅读一波。
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
- 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
- 动态规划：关于完全背包，你该了解这些！(opens new window)
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这次我们再来说一说多重背包
#多重背包
对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。
有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？
每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。
例如：
背包最大重量为10。
物品为：
重量 价值 数量 物品0 1 15 2 物品1 3 20 3 物品2 4 30 2 问背包能背的物品最大价值是多少？
和如下情况有区别么？
重量 价值 数量 物品0 1 15 1 物品0 1 15 1 物品1 3 20 1 物品1 3 20 1 物品1 3 20 1 物品2 4 30 1 物品2 4 30 1 毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。
练习题目：卡码网第56题，多重背包
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听说背包问题很难？ 这篇总结篇来拯救你了
年前我们已经把背包问题都讲完了，那么现在我们要对背包问题进行总结一番。
背包问题是动态规划里的非常重要的一部分，所以我把背包问题单独总结一下，等动态规划专题更新完之后，我们还会在整体总结一波动态规划。
关于这几种常见的背包，其关系如下：
通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。
在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
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其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结。
#背包递推公式
问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：
- 动态规划：416.分割等和子集(opens new window)
- 动态规划：1049.最后一块石头的重量 II(opens new window)
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问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：
- 动态规划：494.目标和(opens new window)
- 动态规划：518. 零钱兑换 II(opens new window)
- 动态规划：377.组合总和Ⅳ(opens new window)
- 动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)
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问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：
- 动态规划：474.一和零(opens new window)
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问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：
- 动态规划：322.零钱兑换(opens new window)
- 动态规划：279.完全平方数(opens new window)
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#遍历顺序
#01背包
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。
和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。
一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！
#完全背包
说完01背包，再看看完全背包。
在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。
但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
相关题目如下：
- 求组合数：动态规划：518.零钱兑换II(opens new window)
- 求排列数：动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)、动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)
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如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：
- 求最小数：动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)、动态规划：279.完全平方数(opens new window)
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对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了。
#总结
这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两部：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了。
而且每一个点，我都给出了对应的力扣题目。
最后如果你想了解多重背包，可以看这篇动态规划：关于多重背包，你该了解这些！ (opens new window)，力扣上还没有多重背包的题目，也不是面试考察的重点。
如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，可以说对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余！
背包问题总结：
