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1. 二叉树顺序结构

普通二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。

注意 操作系统和数据结构中都有栈和堆的概念，这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.堆

2.1 堆的概念及结构

2.1.1 概念

堆分为小根堆和大根堆，根节点始终小于子节点称为小根堆，相反根节点始终大于子节点则称为大根堆。换句话说，将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

▶ 大(根)堆，树中所有父亲都大于或者等于孩子，且大堆的根是最大值；

▶ 小(根)堆，树中所有父亲都小于或者等于孩子，且小堆的根是最小值；

2.1.2 堆的性质

▶ 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
▶ 堆总是一棵完全二叉树；

2.2 堆的概念选择题

1、下列关键字序列为堆的是（ ）
A. 100, 60, 70, 50, 32, 65
B. 60, 70, 65, 50, 32, 100
C. 65, 100, 70, 32, 50, 60
D. 70, 65, 100, 32, 50, 60
E. 32, 50, 100, 70, 65, 60
F. 50, 100, 70, 65, 60, 32

• 分析：根据堆的概念分析，A 选项为大根堆；
  

2、已知小根堆为 8, 15, 10, 21, 34, 16, 12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

• 分析：此题考查的是建堆的过程,所以选择 C 选项
  

3、一组记录排序码为 (5 11 7 2 3 17)，则利用堆排序方法建立的初始堆为（ ）
A. (11 5 7 2 3 17)
B. (11 5 7 2 17 3)
C. (17 11 7 2 3 5)
D. (17 11 7 5 3 2)
E. (17 7 11 3 5 2)
F. (17 7 11 3 2 5)

• 分析：此题考查的是堆排序建堆的过程,根据下面堆排序的过程分析，选择 C 选项
  

4、、注，请理解下面堆应用的知识再做。最小堆 [0, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8]，在删除堆顶元素0之后，其结果是（ ）
A. [3，2，5，7，4，6，8]
B. [2，3，5，7，4，6，8]
C. [2，3，4，5，7，8，6]
D. [2，3，4，5，6，7，8]

• 分析：此题考查的是 Pop 堆顶后，重新建堆的变化,所以选择 C 选项
  

2.3 堆的实现

1、堆向下调整算法
向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆 (包括大堆和小堆)，才能调整。

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。

1.1 建堆
有一个随机值的数组，把它理解成完全二叉树，并模拟成堆 (大堆/小堆)

int array[] = {27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37}

观察这组数据
根下面的左右子树都是小根堆，其实堆向下调整算法就是针对这种特殊数据结构

1.1.1针对于这种类型的数据应该怎么调堆
思路：从根开始与左右孩子比较，如果孩子比父亲小，则两两交换位置，再继续往下调，直到左右孩子都比父亲大或者调到叶子

1.1.2 如果不满足左右子树是堆，怎么调整?

int array[] = {27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15}
根的左右子树 37、28 都不满足：这里的想法就是先让左右子树先满足；而对于左右子树 37、28 来说又需要让 37 先满足；这样依此类推直至满足堆的条件。那干脆就从倒数的第一棵树，也就是倒数的第一个非叶子节点开始调整

关于堆的实现我们使用标准模块化开发格式进行研究：

Heap.h：存放函数声明、包含其他头文件、定义宏。
Heap.c：书写函数定义，书写函数实现。
test.c：书写程序整体执行逻辑。

①.堆的初始化：

堆的初始化与队列相同，首先判断传入指针非空后，将其置空，并将数据置零即可。

//1、对于HeapCreate函数，结构体不是外面传进来的，而是在函数内部自己malloc空间，再创建的
/* 
HP* HeapCreate(HPDataType* a, int n)
{}
*/
//2、对于HeapInit函数，在外面定义一个结构体，把结构体的地址传进来
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{
	assert(php); 
	//malloc空间(当前数组大小一样的空间)
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	//使用数组初始化
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	//建堆 
	int i = 0;
	for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}

②.堆的插入（向上调整算法）：

因为堆的存储在物理层面上数组，但是在逻辑层面上二叉树。并且由于只有小根堆和大根堆，所以在插入数据之后要想保证其仍然是堆，就需要进行适当的调整。

插入时从尾部插入，而是否为堆取决于子节点和父节点的关系，若为小根堆则子节点要比父节点要大，否则就需要交换子节点和父节点，大根堆则相反。而这种调整方式就叫做向上调整算法。

执行操作前需进行非空判断，防止堆空指针进行操作。
插入前判断空间是否足以用于此次扩容，若不足则进行扩容，直至满足插入条件后堪称插入操作，这个接口的功能实现也与队列的处理方式基本相同。
与队列的不同点在于，为了保证插入后仍然是堆，需要在插入后使用向上调整算法进行适当的调整。

//向上调整算法：
//除了child的数据，前面的数构成堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	//parent>=0  感觉有问题 但可以使用
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
 
//堆插入：
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//空间不够，增容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataType));
		if (temp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		else
		{
			php->a = temp;	
		}
		php->capacity *= 2;
	}
	//将x放在最后
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

③.堆的删除（向下调整算法）：

堆删除的实质是删除堆顶元素，如果我们直接删除堆顶的元素，再将数据挪动，就会破坏堆的结构，所以这种方法并不可取；于是我们这里采用将堆顶的数据与最后一个数据交换，再删除最后一个数据的方法，这样就实现了堆顶数据的删除。接着我们再调整一下堆顶数据的位置即可。

在这里选择的调整方法是：将根节点与它的孩子中的较小值交换，然后再将交换后的节点作为父节点继续与它的子节点交换，直到该节点小于它的子节点，或者成为叶节点。

注意 使用这个方法有一个前提：根节点的两个子树也得是堆才行。而这种方法就叫做向下调整算法。

执行操作前需进行非空判断，防止对空指针进行操作。
删除过程同样与队列近乎一致，不同点是在删除过后为了保证删除堆顶数据后仍为堆，于是需要使用向下调整算法对删除后的结果进行适当的处理。

//向下调整算法：
//左右子树都是大堆或小堆
void AdjustDown(HPDataType* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//选出左右孩子中大的那一个
		if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1])//防止越界 右孩子存在
		//child + 1 < n 放左边 先检查
		{
			child++;//右孩子>左孩子 ++
		}
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else//父亲大于孩子 不用交换了
		{
			break;
		}
	}
}
 
//堆顶数据删除：
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	//没有数据删除就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	//交换首尾
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	//没有数据获取就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

测试删除接口功能实现：

④.取堆顶数据：

取堆顶数据操作与队列完全相同

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	//没有数据获取就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	
	return php->a[0];
}

⑤.堆中数据个数：

查看堆中的数据个数操作很简单，在判断传入指针非空后，直接返回 p->size 的值，即堆中保存的数据数量即可。

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	
	return php->size;
}

⑥.堆的判空：

堆的判空操作与队列完全相同

//堆数据判空：
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	
	return php->size == 0;
}

⑦.堆的销毁：

堆的销毁与队列相同

void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	
	php->size = php->capacity = 0;
}

⑦.堆的打印：

void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);

	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

2.4 堆的代码实现

注意

▶ 堆的初始化一般是使用数组进行初始化的

▶ 堆的插入数据不分头插、尾插，将数据插入后，原来堆的属性不变

先放在数组的最后一个位置，再向上调整

▶ 堆的删除数据删除的是堆顶的数据，将数据删除后，原来堆的属性不变

为了效率，将第一个和最后一个元素交换，再减容，然后再调整

Heap.h 用于函数的声明

#pragma once

//头
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>

typedef int HPDataType;

//C++ -> priority_queue 在C++里用的是优先级队列，其底层就是一个堆
//大堆
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;
//函数的声明
//交换
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int n, int parent);
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
//使用数组进行初始化
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n);
//回收空间
void HeapDestroy(HP* php);
//插入x，保持它继续是堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x); 
//删除堆顶的数据，保持它继续是堆
void HeapPop(HP* php);
//获取堆顶的数据，也就是最值
HPDataType HeapTop(HP* php);
//判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//堆的数据个数
int HeapSize(HP* php);
//输出
void HeapPrint(HP* php);

Heap.c 用于函数的定义

#include"Heap.h"


void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{
	HPDataType temp = *px;
	*px = *py;
	*py = temp;
}
//左右子树都是大堆或小堆
void AdjustDown(HPDataType* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//选出左右孩子中大的那一个
		if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1])//防止越界 右孩子存在
		//child + 1 < n 放左边 先检查
		{
			child++;//右孩子>左孩子 ++
		}
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else//父亲大于孩子 不用交换了
		{
			break;
		}
	}
}
//除了child的数据，前面的数构成堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	//parent>=0  感觉有问题 但可以使用
	{
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);

	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
//1、对于HeapCreate函数，结构体不是外面传进来的，而是在函数内部自己malloc空间，再创建的
/* 
HP* HeapCreate(HPDataType* a, int n)
{}
*/
//2、对于HeapInit函数，在外面定义一个结构体，把结构体的地址传进来
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{
	assert(php); 
	//malloc空间(当前数组大小一样的空间)
	php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);
	if (php->a == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}
	//使用数组初始化
	memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	//建堆 
	int i = 0;
	for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}
void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//空间不够，增容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataType));
		if (temp == NULL)
		{
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}
		else
		{
			php->a = temp;	
		}
		php->capacity *= 2;
	}
	//将x放在最后
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
	//向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	//没有数据删除就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	//交换首尾
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	//没有数据获取就报错
	assert(!HeapEmpty(php));
	return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

Test.c 用于测试函数

#include"Heap.h"

void TestHeap()
{
	int arr[] = { 27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15 };
	HP hp;
	HeapInit(&hp, arr, sizeof(arr)/sizeof(arr[0]));
	HeapPrint(&hp);
	HeapPush(&hp, 18);
	HeapPrint(&hp);
	HeapPush(&hp, 98);
	HeapPrint(&hp);
	printf("\n\n");
	//将堆这数据结构实现好后，我们就可以利用这些接口实现排序
	while(!HeapEmpty(&hp))
	{
		printf("%d ", HeapTop(&hp));	
		HeapPop(&hp);
	}
	printf("\n");
	
}
int main()
{
	TestHeap();
	return 0;
}

3.总结：

今天我们认识并学习了二叉树顺序结构的相关概念，并且对堆的概念及结构也有了一定的了解。还对二叉树顺序存储的实例——堆的各接口功能进行了实现。下一篇博客我们将从堆的时间复杂度详解以及堆的应用—堆排序、TOP - K问题进一步介绍堆。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。

当然，本文仍有许多不足之处，欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正！我们下期见~