频率域采样

1. 频率域采样

(1) 采样的过程：DFT的X(k)是对周期且连续的频谱X( $e^{jw}$ )在[0,2pi)上的等间隔采样，采N个点得到的，采样间隔是 $\frac{2*pi}{N}$ ；频域采样要求时域有限，即假设x(n)的长度是有限值M，x(n)的SFT是X( $e^{jw}$ )。

(2) X(k) 做IDFT之后得到的 $X_{N}(n)$ 和原序列x(n)长度都是N个点，在数值上有何关系？

2. 示例

示例1

已知某一序列为x(n)≠0， 0≤n≤19，其SFT为X( $e^{jw}$ )，对其SFT分别以N=32和N=16点采样，观察采样后逆变换的时域信号原时域信号的关系，时域信号对应的频谱和原时域信号频谱的关系。

代码：

%Fs=256;%采样率

%N=256; %采样点数

%n=0:N-1;%采样序列

%t=0:1/Fs:1-1/Fs;%时间序列



%x=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t-pi*90/180);%原始信号

%原始信号有直流分量，

%频率分量1：模拟频率是50Hz, 相位是1/6*pi(rad)-->对应30度的角度制，幅度是3

%频率分量2：模拟频率是75Hz, 相位是1/2*pi(rad)-->对应90度的角度制，幅度是1.5



%y=fft(x);%对原始信号做FFT

%M=abs(y);%求复频域上的模值

%plot(n, M);%绘制幅度谱曲线

%xlabel('n');



clear;%清除内存

close all;%关闭所有图形

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1];%产生信号

xf=fft(x,2048);%求信号的近似SFT

y1f=xf(1:64:2048); %在SFT上采样32点

y2f=xf(1:128:2048); %在SFT上采样16点

y1=ifft(y1f);%求y1(n)

y1sft=fft(y1,2048);%求32点采样后的SFT

y2=ifft(y2f);%求y2(n)

y2sft=fft(y2,2048);%求16点采样后的SFT

figure;

subplot(3,1,1);

stem(0:19,x);%绘制离散序列数据

grid on;%显示网格线

xlabel('n','fontsize',12);ylabel('x(n)','fontsize',12);

title('原序列(时域)','fontsize',12);



subplot(3,1,2);

plot((0:2047)/1024, abs(xf));%绘制二维曲线

grid on;

hold on;%保留当前绘图(接下来要绘制新的绘图[叠加到上面的二维曲线])

stem((0:64:2047)/1024,abs(y1f),'r');

ylim([0 110]);%设置y轴坐标范围

xlabel('\omega/\pi','fontsize',14);

ylabel('幅度(dB)','fontsize',12);

xlim([0 2048/1024]);

title('对SFT的32点采样(频域采样)','fontsize',12);



subplot(3,1,3),%画频域上采32个点对应的时域图

stem(0:31,y1);

grid on;

ylim([0 10]);

xlabel('n','fontsize',12);

ylabel('y1(n)','fontsize',12);

title('频域上采32个点对应的时域离散序列','fontsize',12);



figure;%绘制新图形

subplot(3,1,1);

stem(0:19,x);

grid on;

xlabel('n','fontsize',14);

ylabel('x(n)','fontsize',14);

title('原序列(时域)','fontsize',12);



subplot(3,1,2),plot((0:2047)/1024,abs(xf));grid on;

hold on;

stem((0:128:2047)/1024,abs(y2f),'r');

ylim([0 110]);

xlabel('\omega/\pi','fontsize',14);

ylabel('幅度(dB)','fontsize',14);

xlim([0 2048/1024]);

title('对SFT的16点采样(频域采样)','fontsize',14);



subplot(3,1,3);

stem(0:15,y2);

grid on;

xlabel('n','fontsize',14);

ylabel('y2(n)','fontsize',14);

title('频域上采16个点对应的时域离散序列','fontsize',12);



figure;

plot((0:2047)/1024,abs(xf),'red');%原序列2048点曲线(频域)

grid on;

hold on;

stem((0:128:2047)/1024,abs(y2f),'black');

ylim([0 110]);

xlim([0 2048/1024]);

xlabel('\omega/\pi','fontsize',14);

ylabel('幅度(dB)','fontsize',14);

title('不同采样点对应的SFT','fontsize',14);

legend('原序列SFT','16点采样');



figure;

plot((0:2047)/1024,abs(xf),'red');%原序列2048点曲线(频域)

grid on;

hold on;

stem((0:64:2047)/1024,abs(y1f),'blue');

ylim([0 110]);

xlim([0 2048/1024]);

xlabel('\omega/\pi','fontsize',14);

ylabel('幅度(dB)','fontsize',14);

title('不同采样点对应的SFT','fontsize',14);

legend('原序列SFT','32点采样');

运行结果如下：