C++学习笔记:二叉搜索树

二叉搜索树

  • 什么是二叉搜索树?
  • 搜索二叉树的操作
    • 查找
    • 插入
    • 删除
  • 二叉搜索树的应用
  • 二叉搜索树的代码实现
    • K模型:
    • KV模型
  • 二叉搜索树的性能怎么样?

什么是二叉搜索树?

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

在这里插入图片描述
由上图可明显得知搜索二叉树的构建方式

搜索二叉树的操作

这里插入一个搜索二叉树为样例:
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
在这里插入图片描述

查找

  • 从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
  • 最多查找高度次，走到到空，还没找到，则这个值不存在

插入

  • 当这个树为空树时不用多说直接插入成根节点_root
  • 当这个树不为空时,先找到所插入节点的位置,再进行插入
    比如要在下面这棵搜索树中插入9
    在这里插入图片描述

可以看出,9的位置应该在10的左子树位置:
在这里插入图片描述

在数据结构上这样就算成功插入

删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false,否则要删除的结点可能分下面几种情况:

  1. 当这个节点是叶子节点或者只有左孩子时,先让父节点指向该节点的左孩子,再删除掉该节点–直接删除
  2. 当这个节点是叶子节点或者只有右孩子时,先让父节点指向该节点的右孩子,再删除掉该节点–直接删除
  3. 这个节点既有左子树又有右子树,则先将该节点的左子树链接到右子树的最左节点,再用右子树来替换该节点–替换法删除

前两种情况都好说,例如删除下列节点中的 7 和 14:
在这里插入图片描述

删7:直接删除
在这里插入图片描述
删14:删掉14并将14的左子树链接到10的右子树
在这里插入图片描述

比较复杂的是最后一种情况:当要删除的节点既有左子树又有右子树的时候,则需要进行一些特殊调整,例如,删除下面这颗树中的3 和 8 时:
在这里插入图片描述

删除3,使用上述的第三种方法:
先将该节点的左子树链接到右子树的最左节点,再用右子树来替换该节点
在这里插入图片描述
删除 8 ,使用上述的第三种方法:
先将该节点的左子树链接到右子树的最左节点,再用右子树来替换该节点
在这里插入图片描述

以上就是二叉搜索树的插入和删除的主要思想,接下来是具体实现

二叉搜索树的应用

二叉搜索树分为两种模型,一种是单键值的K模型,另一种是拥有键值对的KV模型,而后面需要学习的map,AVL树等都会涉及到KV模型.

  1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
  • 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
  • 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
  1. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：
  • 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
  • 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对

二叉搜索树的代码实现

K模型:

#pragma once

#include<iostream>

using namespace std;

//单键值的搜索二叉树  K模型
template <class K>
struct BSTNode
{
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
	{}

};

template<class K>
class BSTree
{
public:
	typedef BSTNode<K> Node;


	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = cur;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool Find(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
			return false;

		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				cout << " 存在" << endl;
				return true;
			}
		}

		return false;
	}

	bool Erase(const K& key)
	{
		//空树返回false
		if (_root == nullptr)
			return false;
		//寻找key
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{

			if (cur->_key > key)
			{
				//这里注意一下,一定要往下一步走的时候父节点才随着改变
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				//找到了 分情况
				//要删除的节点左孩子或右孩子为空
				
				//左孩子为空
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					//若删除的是根节点
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					//不是跟节点
					else
					{
						//判断当前节点是父节点的左孩子还是右孩子
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}
					}
					//删除
					delete cur;
				}
				//右孩子为空
				else if (cur->_right == nullptr)
				{
					//若删除的是根节点
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_left;
					}
					//不是跟节点
					else
					{
						//判断当前节点是父节点的左孩子还是右孩子
						if (parent->_left == cur)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}
					}
					//删除
					delete cur;
				}
				//左右孩子都不为空
				else
				{
					//找当前节点右树的最左节点来替换
					Node* parent = cur;
					Node* subright = cur->_right;
					while (subright->_left)
					{
						parent = subright;
						subright = subright->_left;
					}
					swap(cur->_key, subright->_key);
					//判断这个节点是parent的左孩子还是右孩子  若删除的是根节点就是右孩子,因此一定要判断
					if (parent->_left == subright)
					{
						parent->_left = subright->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = subright->_right;
					}
					//删除
					delete subright;
				}
				//找到返回true
				return true;
			}
		}
		//没找到
		return false;
	}

	bool FindR(const K& key)
	{
		return _FindR(_root ,key);
	}

	bool InsertR(const K& key)
	{
		return _InsertR(_root, key);
	}

	bool EraseR(const K& key)
	{
		return _EraseR(_root, key);
	}


	//C++11 强制默认构造函数
	BSTree() = default;

	~BSTree()
	{
		Destroy(_root);
	}

	BSTree(const BSTree<K>& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}

	BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
	{
		swap(_root, t->_root);
		return *this;
	}

private:
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}
		Node* NewRoot = new Node(root->_key);
		NewRoot->_left = Copy(root->_left);
		NewRoot->_right = Copy(root->_right);

		return NewRoot;
	}

	void Destroy(Node*& root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);

		delete root;
		root = nullptr;
	}

	bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			cout << "没找到" <<key<< endl;
			return false;
		}
		//先找节点
		if (root->_key > key)
		{
			return _EraseR(root->_left, key);
		}
		else if (root->_key < key)
		{
			return _EraseR(root->_right, key);
		}
		else
		{
			//三种情况  左孩子空 右孩子空 左右都不空
			if (root->_left == nullptr)
			{
				Node* tmp = root;
				root = root->_right;
				delete tmp;
				return true;
			}
			else if (root->_right == nullptr)
			{
				Node* tmp = root;
				root = root->_left;
				delete tmp;
				return true;
			}
			else
			{
				//左右孩子都不为空  用左孩子的最右节点 或 右孩子的最左节点
				Node* subleft = root->_left;
				while (subleft->_right)
				{
					subleft = subleft->_right;
				}
				swap(root->_key, subleft->_key);
				return _EraseR(root->_left,key);
			}
		}
	}

	bool _FindR(Node* root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
			return false;
		if (root->_key > key)
		{
			return _FindR(root->_left , key);
		}
		else if (root->_key < key)
		{
			return _FindR(root->_right, key);
		}
		else
		{
			cout << "找到了" << endl;
			return true;
		}
	}
	//注意 这里要用 *& 传值,以保证每次递归访问到每一个节点并能够对节点进行操作
	bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		if (root->_key > key)
		{
			return _InsertR(root->_left, key);
		}
		else if(root->_key < key)
		{
			return _InsertR(root->_right, key);
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);


	}


	Node* _root = nullptr;
};

KV模型

#pragma once

#include<iostream>

using namespace std;

namespace kv
{
	template <class K, class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K,V>* _left;
		BSTreeNode<K,V>* _right;
		K _key;
		V _value;

		BSTreeNode(const K& key , const V& value)
			:_left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			,_value(value)
		{}

	};


	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K, V> Node;
	public:
		bool Insert(const K& key, const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, value);
				return true;
			}
			Node* cur = _root;
			Node* parent = cur;
			while (cur)
			{
				parent = cur;
				if (cur->_key > key)
				{

					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					//parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			cur = new Node(key, value);
			if (parent->_key > key)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else 
			{
				parent->_right = cur;
			}
			return true;
		}

		Node* Find(const K& key)
		{
			if (_root == nullptr)
				return nullptr;
			Node* cur = _root;
			while(cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}
		bool Erase(const K& key)
		{
			//先找节点
			if (_root == nullptr)
				return false;
			Node* cur = _root;
			Node* parent = cur;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					//左子树为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = _root->_right;
						}
						if (cur == parent->_left)
						{
							parent->_left = cur->_right;
						}
						else if (cur == parent->_right)
						{
							parent->_right = cur->_right;
						}

						delete cur;
					}
					//右子树为空
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = _root->_left;
						}
						if (cur == parent->_left)
						{
							parent->_left = cur->_left;
						}
						else if (cur == parent->_right)
						{
							parent->_right = cur->_left;
						}

						delete cur;

					}//左右都不为空
					else
					{
						Node* parent = cur;
						//左子树的最右节点和cur交换
						Node* subleft = cur->_left;
						while (subleft->_right)
						{
							subleft = subleft->_right;
						}
						swap(cur->_key, subleft->_key);

						delete subleft;
					}
				}
			}
			
			//没找到
			return false;
		}

		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
	private:
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << root->_value << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}
		Node* _root = nullptr;
	};
}

二叉搜索树的性能怎么样?

在二叉搜索树中,插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能.
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
在这里插入图片描述

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2​N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N​

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