一.01背包
46. 携带研究材料（第六期模拟笔试） (kamacoder.com)
代码随想录 (programmercarl.com)
携带研究材料:
时间限制：5.000S 空间限制：128MB
题目描述:
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。
小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。
输入描述:
第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。
第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。
第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。
输出描述:
输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。
输入示例:
6 1
2 2 3 1 5 2
2 3 1 5 4 31.dp状态描述
dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值
space[i]表示i物品所需空间
value[i]表示i物品的价值
2.递推公式
先遍历物品再遍历背包空间时
新来一个物品i时面对两种情况 带或不带，带的前提是当前空间>新物品空间I
if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j]
3. 初始状态
是从一个一个物品开始遍历，初始状态有第一个物品即可（第一行）
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(i>=space[0]) dp[0][i]=value[0];
}
4.遍历顺序
先遍历物品或背包都可以，但遍历物品更好理解
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int m = 0, n = 0;
cin >> m >> n;
vector<int> space,value;
int tempM=m;
while(tempM--)
{
int tempSpace;
cin>>tempSpace;
space.push_back(tempSpace);
}
tempM=m;
while(tempM--)
{
int tempValue;
cin>>tempValue;
value.push_back(tempValue);
}
// for(auto e : space) cout<<e;
// for(auto e : value) cout<<e;
//每一个带可能带或不带，前面的选择会影响后面
//dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值
//新来一个物品i时面对两种情况 带或不带
//if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
//else dp[i][j]=dp[i-1][j]
vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
// //初始状态第一行即可
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(i>=space[0]) dp[0][i]=value[0];
}
for(int i=1;i<m;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[m-1][n];
return 0;
}二.完全背包
52. 携带研究材料（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)
代码随想录 (programmercarl.com)
52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）
时间限制：1.000S 空间限制：128MB
题目描述:
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。
小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。
输入描述:
第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间
接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值
输出描述:
输出一个整数，表示最大价值。
输入示例:
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5输出示例:
101.dp状态描述(与01背包相同)
dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值
space[i]表示i物品所需空间
value[i]表示i物品的价值
2.递推公式
先遍历物品再遍历背包空间时
新来一个物品i时面对两种情况 带或不带，带的前提是当前空间>新物品空间I，带的话可以选择带n个，则带的结果是以dp[i][j-space[i]]+value[i]表示，因为此时只需要空间变小即可，依旧可以选择到第i个物品
if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j]
3. 初始状态
是从一个一个物品开始遍历，初始状态有第一个物品即可（第一行），也有01背包略有不同
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(i>=space[0]) dp[0][i]=max(dp[0][i-space[0]]+value[0],value[0]);
}
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int m = 0, n = 0;
cin >> m >> n;
vector<int> space,value;
int tempM=m;
while(tempM--)
{
int tempSpace,tempValue;
cin>>tempSpace>>tempValue;
space.push_back(tempSpace);
value.push_back(tempValue);
}
vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
// //初始状态第一行即可
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(i>=space[0]) dp[0][i]=max(dp[0][i-space[0]]+value[0],value[0]);
}
for(int i=1;i<m;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
//与01背包唯一不同点就是选择带之后，依然可以选择继续带，则用dp[i][j-space[i]]+value[i]
if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[m-1][n];
return 0;
}三.一维数组解题
上述代码中都是按“一行”结束后进行下一行的值计算，且每次计算最多只间隔一行，没有出现间隔多行的情况，在计算第100行时只需要第99行，那么保存的0-98行都是浪费内存。
3.1 01背包
1.状态描述：
dp[j]表示空间为j时能装下的最大重量
2.递推公式：
if(j>=space[i]) dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
3.初始状态
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(i>=space[0]) dp[i]=value[0];
}
4.遍历顺序
如果是正序：遍历物品i时
假设dp[j]已经装入了物品i，而后的dp[j+n]也可能装入物品i（可能dp[j-space[i]]的值已经变化了 不再是未装入物品i时的值）
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]装入了两次物品0
如果是倒序：则不会出现重复装入情况，因为dp[j-space[i]]未变化，未装入物品i
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int m = 0, n = 0;
cin >> m >> n;
vector<int> space,value;
int tempM=m;
while(tempM--)
{
int tempSpace;
cin>>tempSpace;
space.push_back(tempSpace);
}
tempM=m;
while(tempM--)
{
int tempValue;
cin>>tempValue;
value.push_back(tempValue);
}
vector<int> dp(n+1,0);
// //初始状态第一行即可
for(int i=0;i<=n;i++)
{
if(i>=space[0]) dp[i]=value[0];
}
for(int i=1;i<m;i++)
{
for(int j=n;j>=space[i];j--)
{
dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
}
}
cout<<dp[n];
return 0;
}3.2 完全背包
52. 携带研究材料（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)
题目与01背包唯一不同点是，物品i可以带入多个
1.将01背包的遍历顺序改为正序
2.修改初始状态 dp[i]=max(dp[i-space[0]]+value[0],value[0]);
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int m = 0, n = 0;
cin >> m >> n;
vector<int> space,value;
int tempM=m;
while(tempM--)
{
int tempSpace,tempValue;
cin>>tempSpace>>tempValue;
space.push_back(tempSpace);
value.push_back(tempValue);
}
vector<int> dp(n+1,0);
for(int i=space[0];i<=n;i++)
{
dp[i]=max(dp[i-space[0]]+value[0],value[0]);
}
for(int i=1;i<m;i++)
{
for(int j=space[i];j<=n;j++)
{
dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
}
}
cout<<dp[n];
return 0;
}
