基础知识：方差，协方差，协方差矩阵

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方差：描述了一组随机变量的离散程度

        方差= 每个样本值 与 全部样本的平均值 相差的平方和  再求平均数，记作：

        例如：计算数字1-5的方差，如下

去中心化：为了后续计算的方便，会对样本进行去中心化处理，方法是将全部样本按照平均值平移

例如：1-5每个数字都向负方向移动3(平均值)个单位，计算方差后结果依然是2

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协方差：协方差描述了不同特征之间的相关情况，通过计算协方差，可以判断不同特征之间的关联关系。协方差=m个样本的（特征a-均值ua ）乘以（特征b - 均值 ub）的乘积累加到一起再除以m-1

        例如1：一组数据点(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)他们的协方差计算如下

        例如2：同理

        例如3：同理

为了更方便的计算协方差，同样的也可以将数据去中心化处理

总之：协方差表示了不同特征之间的相关情况，想个特征值之间的协方差>0，则正相关，<0则负相关，=0则不相关

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协方差矩阵：计算了不同维度的协方差，他是一个对对称矩阵，由方差和协方差两部分组成，其中，对角线上的元素是各个随机变量的方差，非对角线上的元素为两两随机变量之间的协方差。

在计算协方差矩阵时，需要将m个样本的特征按照列向量的方式，保存在矩阵中，然后计算矩阵和矩阵转置的乘积，再除以m，得到协方差矩阵

        例如：m个样本，每个样本有a和b两个特征，将这些样本按照列向量的方式，保存到矩阵x中，计算m个样本的协方差矩阵，他等于x乘以x的转置，再除以m。

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1.SVD求解ICP方法C++代码展示，总结起来分为3步

#include<iostream>
#include<vector>
#include<eigen>
using namespace std;
//函数用于估计两组三维点集之间的旋转矩阵 R 和平移向量 t
//通过这段代码，可以实现对两组三维点集之间的姿态关系进行估计和计算，其中旋转矩阵R_用于描述旋转关系，平移向量t_用于描述平移关系
void pose_estimation_3d3d(const vector<Point3f>& pts1,
                          const vector<Point3f>& pts2,
                          Mat& R, Mat& t)
{
    // 计算两组三维点的质心
    Point3f p1, p2;
    int N = pts1.size();
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        p1 += pts1[i];
        p2 += pts2[i];
    }
    p1 /= N;
    p2 /= N;

    // 对每个减去质心，得到新的点集q1,q2
    vector<Point3f> q1(N), q2(N);
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        q1[i] = pts1[i] - p1;
        q2[i] = pts2[i] - p2;
    }

    // 计算协方差矩阵3x3 q1*q2^T
    Eigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();
    for (int i=0; i<N; i++)
    {
        W += Eigen::Vector3d(q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z) * Eigen::Vector3d(q2[i].x,
                q2[i].y, q2[i].z).transpose();
    }
    cout << "W=" << W << endl;

    // SVD on W  对矩阵 W 进行奇异值分解（SVD）得到 U 和 V 矩阵。
    Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd(W, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV);
    Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();
    Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();
    cout << "U=" << U << endl;
    cout << "V=" << V << endl;
    //根据计算出的 U 和 V 矩阵计算旋转矩阵 R 和平移向量 t。
    Eigen::Matrix3d R_ = U * (V.transpose());
    Eigen::Vector3d t_ = Eigen::Vector3d(p1.x, p1.y, p1.z) - R_ * Eigen::Vector3d(p2.x, p2.y, p2.z);//p1 p2分别为两组数据的中心点
    //将计算得到的旋转矩阵 R 和平移向量 t 转换为 OpenCV 的 Mat 类型。
    // convert to cv::Mat
    R = (Mat_<double>(3, 3) <<
            R_(0, 0), R_(0, 1), R_(0,2),
            R_(1, 0), R_(1, 1), R_(1,2),
            R_(2, 0), R_(2, 1), R_(2,2));
    t = (Mat_<double>(3, 1) << t_(0, 0), t_(1, 0), t_(2, 0));
}

经过上面的步骤，其实就可以得到R和T了，但是，这时候就出现了一个问题——结果不准确。在算法实现中，如果出现了求解值不准确的情况，那么一般做法就是——多求几次，也就是迭代！可以参考如下：

• 从B点云中一一找到A中点的对应距离最近点，构成最近点集C
• 把C点集存入Eigen矩阵中，和A点云去中心化后，求SVD分解，得到R矩阵和T向量（一个旋转一个平移）
• 开始迭代，通过R×A+T得到新的点云A1
• 重新执行1到3步骤，这次是从B中找A1的最近点
• 求得到的点云An和它的最近点集Cn的平均距离dst，当dst小于设定的阈值时，跳出循环

如果发现还不准确，那么有可能是它的迭代条件——也就是平均距离dst判断出错了，出现这种原因一般就是点云中出现了离散点，导致某两点的距离出现了异常，带动了整个dst判断出错。解决方案如下（很管用）：

• 遍历A点找寻最近点，如果A中的某个点Ai和它的最近点距离大于某个阈值，则剔除，不参与接下来的计算。
• 从B点云中一一找到A中点的对应距离最近点，构成最近点集C
• 把C点集存入Eigen矩阵中，和A点云去中心化后，求SVD分解，得到R矩阵和T向量（一个旋转一个平移）
• 开始迭代，通过R×A+T得到新的点云A1
• 重新执行1到4，每次执行都要剔除一下离散点。
• 求得到的点云An和它的最近点集Cn的平均距离dst，当dst小于设定的阈值时，跳出循环

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2.非线性优化求解ICP c++代码展示

#include <iostream>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <opencv2/features2d/features2d.hpp>
#include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include <opencv2/calib3d/calib3d.hpp>
using namespace cv;
 
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/SVD>
#include <Eigen/Dense>

#include <chrono>
#include <sophus/se3.hpp>
 
#include <g2o/core/base_vertex.h>
#include <g2o/core/base_unary_edge.h>
#include <g2o/core/sparse_optimizer.h>
#include <g2o/core/block_solver.h>
#include <g2o/core/solver.h>
#include <g2o/core/optimization_algorithm_gauss_newton.h>
#include <g2o/solvers/dense/linear_solver_dense.h>
using namespace std;
//定义VertexPose顶点              //顶点为6个优化变量，每个类型为SE3d(表示三维空间中的刚体变换，即旋转和平移)
class VertexPose : public g2o::BaseVertex<6, Sophus::SE3d> {
    public:
        EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW;

        // 设置初始化的更新值 
        virtual void setToOriginImpl() override { 
            _estimate = Sophus::SE3d();
        }

        // left multiplication on SE3
        virtual void oplusImpl(const double *update) {
            Eigen::Matrix<double, 6, 1> update_eigen;//前三个元素表示平移在 x、y、z 轴上的分量，后三个元素表示旋转的绕 x、y、z 轴的旋转量
            update_eigen << update[0], update[1], update[2],
                            update[3], update[4], update[5];
            _estimate = Sophus::SE3d::exp(update_eigen) * _estimate;//exp 将update_eigen向量转换成SE3d 类型的刚体变换
        }

        virtual bool read(std::istream &in) override {return true;}
        
        virtual bool write(std::ostream &out) const override { return true;}
};
//定义边 一元边，连接一个顶点VertexPose ，和一个包含三维向量的观测
class EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly : public g2o::BaseUnaryEdge<3, Eigen::Vector3d, bcv::VertexPose> 
{
    public:
        EIGEN_MAKE_ALIGNED_OPERATOR_NEW;

        EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly(const Eigen::Vector3d &point) : _point(point) {}

        virtual void computeError() override {
            const VertexPose* p = static_cast<const VertexPose*> (_vertices[0]);
            //真实观测值 _measurement 与 估计观测值 p->estimate() * _point之间的误差
            _error = _measurement - p->estimate() * _point;//将顶点的估计值所代表的变换作用于点 _point，得到的新的位置信息
        }

        //linearizeOplus 函数实现了对雅可比矩阵的线性化操作
        virtual void linearizeOplus() override {
            VertexPose *p = static_cast<VertexPose*> (_vertices[0]);//从图优化中获取与当前边相连的顶点
            Sophus::SE3d T = p->estimate();//获取顶点的估计值（优化变量，用于计算位姿变换）
            Eigen::Vector3d xyz_trans = T * _point;//通过估计的值 计算当其点_point转换后的坐标

            //雅可比矩阵从 (0,0) 开始的 3×3 子矩阵（前三行前三列），设置为负的单位矩阵，表示误差函数对位姿变量的平移部分的导数
            _jacobianOplusXi.block<3, 3>(0, 0) = -Eigen::Matrix3d::Identity();
            //雅可比矩阵的前三行后三列部分，利用 Sophus 库的 hat 操作将向量 xyz_trans 转换为反对称矩阵，通常表示误差函数对位姿变量的旋转部分的导数
            _jacobianOplusXi.block<3, 3>(0, 3) = Sophus::SO3d::hat(xyz_trans);
        }

        bool read(std::istream &in) { return true; }

        bool write(std::ostream &out) const { return true; }

    protected:
        Eigen::Vector3d _point;
};
//定义求解器
void ICPSolver::NLOSolver(std::vector<cv::Point3f> &pts1,
                std::vector<cv::Point3f> &pts2,
                cv::Mat &R, cv::Mat &t)
{
    typedef g2o::BlockSolverX BlockSolverType;//优化问题求解器
    typedef g2o::LinearSolverDense<BlockSolverType::PoseMatrixType> LinearSolverType;//稠密线性方程求解类型
    // new一个 g2o优化器 采用高斯牛顿优化算法
    auto solver = new g2o::OptimizationAlgorithmGaussNewton(
        g2o::make_unique<BlockSolverType>(g2o::make_unique<LinearSolverType>())
    );
    //构建优化问题的图模型
    g2o::SparseOptimizer optimizer; // graph model
    optimizer.setAlgorithm(solver); // set solver
    optimizer.setVerbose(true); // print info

    //添加顶点
    bcv::VertexPose *p = new VertexPose();
    p->setId(0);//顶点id
    p->setEstimate(Sophus::SE3d());//初始估计值
    optimizer.addVertex(p);

    //添加边
    for(size_t i = 0; i < pts1.size(); i++) {
        bcv::EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly *e = new bcv::EdgeProjectXYZRGBDPoseOnly(
            Eigen::Vector3d(pts2[i].x, pts2[i].y, pts2[i].z)
        );
        e->setVertex(0, p);//将上一步的顶点设置为边e的第一个顶点，本次只有一个顶点
        e->setMeasurement(Eigen::Vector3d(pts1[i].x, pts1[i].y, pts1[i].z));//设置了边的测量值（实际位置）
        e->setInformation(Eigen::Matrix3d::Identity());//设置边的信息矩阵为单位矩阵，表示边的置信度
        optimizer.addEdge(e);
    }

    auto t1 = std::chrono::system_clock::now();
    optimizer.initializeOptimization();//初始化优化器
    optimizer.optimize(100);//迭代次数
    auto t2 = std::chrono::system_clock::now();
    auto d = std::chrono::duration_cast<std::chrono::milliseconds>(t2 - t1).count();
    std::cout << "duration: " << d << " ms" << std::endl;

    std::cout << "after optim:\n";
    std::cout << "T=\n" << p->estimate().matrix() << std::endl;
    
    Eigen::Matrix3d R_ = p->estimate().rotationMatrix();//estimate()提取估计值,rotationMatrix()提取旋转矩阵
    Eigen::Vector3d t_ = p->estimate().translation();//提取平移向量
    std::cout <<"det(R_)=" << R_.determinant() << std::endl;
    std::cout <<"R_R_^T=" << R_ * R_.transpose() << std::endl;
    std::cout << "R:\n" << R_ << std::endl;
    std::cout << "t:\n" << t_ << std::endl;
    R = (cv::Mat_<double>(3, 3) <<
        R_(0, 0), R_(0, 1), R_(0, 2),
        R_(1, 0), R_(1, 1), R_(1, 2),
        R_(2, 0), R_(2, 1), R_(2, 2)
    );
    t = (cv::Mat_<double>(3, 1) << t_(0, 0), t_(1, 0), t_(2, 0));
}