问题描述

隐含前提：

1.物体是不可分的，要么装，要么不装，不能只装一部分。

2.物体顶多使用一次。

动态规划思路 

我在b站上看的闫氏dp分析大法的视频，他对dp问题做了总结归纳。

从集合的角度分析dp问题。求出有限集中的最值 / 个数。

分析内容主要包括两部分：

1.状态表示（化零为整）：将一些有相似特征的元素化成一个子集，用某一个状态表示。

        1.1 明确集合分类

        1.2 明确题目中要找的属性（最大值 / 最小值 / 个数）

2.状态计算（化整为零）：将数据划分为不同的子集。（依据：寻找最后一个不同点）

        2.1 数据不重复

        2.2 数据不遗漏

分析01背包问题

1.集合：

所有只考虑前 i 个物品，且总体积不超过 j 的选法的集合

2.属性：

集合中每个方案的最大值

3. 状态计算：

第一种：所有不选第 i 个物品的集合。

所以要从第1个到第 i - 1 中进行选择，且总体积不超过 j 。 dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]

第二种：所以选了第 i 个物品的集合

我们已经选了第 i 个， 所以前 i-1个物品我们要选出最大值，且 前 i-1个物品的总体积为 j - vi。

dp[ i ][ j ] = dp[i-1][j - vi] + wi

这两种情况我们要取最大值。

所以最后状态计算表达式为：

dp[ i ][ j ] = max(dp[ i - 1][ j ], dp[i-1][j - vi] + wi)

代码实现

def knapsack_01(N, V, volumes, values):  
    # 初始化 dp 数组，dp[i][j] 表示考虑前 i 件物品，在容量为 j 的背包中能够得到的最大价值  
    dp = [[0 for _ in range(V + 1)] for _ in range(N + 1)]  
  
    # 动态规划过程  
    for i in range(1, N + 1):  
        for j in range(1, V + 1):  
            # 如果第 i 件物品的体积大于当前背包容量 j，则不能装入  
            if volumes[i - 1] > j:  
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]  
            else:  
                # 否则考虑放入和不放入两种情况，取较大者  
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - volumes[i - 1]] + values[i - 1])  
  
    # 返回最大价值，即所有物品考虑在内，背包容量为 V 的最大价值  
    return dp[N][V]  
  
# 读取输入  
N, V = map(int, input().split())  
volumes = []  
values = []  
for _ in range(N):  
    v, w = map(int, input().split())  
    volumes.append(v)  
    values.append(w)  
  
# 输出最大价值  
print(knapsack_01(N, V, volumes, values))

读取输入这样写就很妙，学会了。一点一点的进步吧！