c++AVL树

c++AVL树

1. 前言

map/multimap、set/multiset这几个容器的共同点是：它们的底层都是按照搜索二叉树来实现的，但是搜索二叉树存在一个缺陷：如果往树中插入的元素有序或接近有序，二叉树搜索就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)。

因此map、set等关联式容器的底层结构对搜索二叉树做了平衡处理，即用平衡树（AVL树）来实现。

2. AVL树的概念

俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决二叉搜索树将退化为单支树的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。平衡因子不是必须的，只是一种控制方式，帮助便捷得控制树。

AVL树的性质：

1.它的左右子树都是AVL树

2.左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1(-1/0/1)，平衡因子=右子树高度-左子树高度

3.如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可以保持在O(log2n)，搜索时间复杂度为O(log2n) 。

3. AVL树的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
        :_pLeft(nullptr),_pRight(nullptr),_pParent(nullptr),_data(data),_bf(0)
        {}
    AVLTreeNode<T>* _pLeft;//左孩子
    AVLTreeNode<T>* _pRight;//右孩子
    AVLTreeNode<T>* _pParent;//该结点的父结点
    T_data;
    int _bf;       
};

3. AVL树的插入

AVL树是添加了平衡因子的搜索二叉树，它的插入可以分成两步：

1.按照搜索二叉树的方式插入新结点

2.调整平衡因子

在这里插入图片描述

在这颗AVL树中，绿色的数字表示每个结点的平衡因子(_bf)：如果左子树高度多1，那么_bf减1；如果右边的子树高度多1，那么_bf；如果左右子树高度相等，那么_bf就是0

在这里插入图片描述

插入一个结点会对平衡因子产生影响

插入结点对平衡因子的影响：

  1. 在父结点的左边插入，父结点的_bf–；在父结点的右边插入，父结点的_bf++

  2. _bf是否继续更新取决于父结点的高度是否发生变化，是否影响爷结点

  3. 更新后，如果_bf是0，说明更新前_bf是1或-1。父结点的左右平衡了，高度不变，不会影响爷结点。

  4. 更新后，如果_bf是1或-1，说明更新前_bf是0，父结点的左右不平衡了，高度变化，会影响爷结点。

  5. 更新后，如果_bf是2或-2，树就要旋转，使树的结构仍符合AVL树。

判断怎么插入的方式是通过查看平衡因子的值决定的：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		while (parent)
		{
			if(cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else
				{
					RotateRL(parent);
				}
				
				break;
			}
			else
			{
				// 插入之前AVL树就有问题
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

4. AVL树的旋转

由于AVL树插入的规则是根据“比我小的插入左边，比我大的插入右边”，所以在某些情况下，插入会导致出现不平衡的情况。这时候就需要通过旋转操作来平衡AVL树。旋转的目的是降低树的高度。

在这里插入图片描述

某些情况插入可能会导致出现不平衡的情况

在这里插入图片描述

这种情况下，把结点旋转到左边，树就能变回平衡了

4.1 左单旋：

对于插入的结点是在右边的情况，只需要把200的结点向左旋转即可。

左旋某个结点的口诀是**“我的左变成你的右，你变成我的左”**。

在这里插入图片描述

200的左子树（b）变成了100的右子树，100变成了200的左孩子

void RotateL(Node* parent)
{
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    
    parent->_right = subRL;
    if(subRL)//b不一定有
        subRL->_parent = parent;
    subR->_left = parent;
    Node* ppnode = parent->parent;
    parent->_parent = subR;
    
    if(ppnode == _root)//判断100为根结点的情况
    {
        _root=subR;
        subR->_parent = nullptr;
    }
    else			 //判断100还有父结点的情况
    {
        if(ppnode->left == parent)//判断100在它父结点的左边的情况
        {
            ppnode->_left = subR;
        }
        else					//判断100在它父结点的右边的情况
        {
            ppnode->_right = subR;
        }
    }
    parent->_bf = 0;
    subR->_bf = 0;
}

4.2 右单旋：

对于插入的结点是在左边的情况，只需要把100的结点向右旋转即可。

右旋某个结点的口诀是**“我的右变成你的左，你变成我的右”**。

在这里插入图片描述

void RotateR(Node* parent) 
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}

		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

4.3 双旋：

双旋也有两种情况，可以分为先左单旋再右单旋的结构和先右单旋再左单旋的结构：

4.3.1 左右双旋

如果插入的结点在中间且左高右低，这时候不能直接在这个层面上操作，还需要把b拆开，然后再对插入的左或右子树进行先左旋再右旋的操作：

在这里插入图片描述

那么此时需要分三种情况讨论

插入的结点在中间结点的左子树：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

插入的结点在中间结点的右子树：

如果插入的结点在150的右边，那么其实操作和上面类似，只是最后的平衡因子不一样

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

中间结点就是被插入的结点本身：

如果150就是被插入的结点，操作也是一样的，先左单旋，再右单旋

在这里插入图片描述

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)//插入在中间结点的左边
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)//插入在中间结点的右边
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//中间结点就是插入结点
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
4.2 右左双旋

如果插入的结点在中间且左低右高，需要把b拆开，然后再对插入的左或右子树进行先右旋再左旋的操作：

在这里插入图片描述

插入的结点在中间结点的左子树：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

插入的结点在中间结点的右子树：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

中间的结点就是插入结点本身：

在这里插入图片描述

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << "[" << root->_bf << "]" << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

5. AVL树的检查

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步
1.验证其为二叉搜索树：

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2.验证其为平衡树：

每个节点子树高度差的绝对值不超过1注意节点中如果没有平衡因子）
节点的平衡因子是否计算正确

bool _IsBalance(Node* root, int& height)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			height = 0;
			return true;
		}

		int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
		if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight) 
			|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
		{
			return false;
		}

		if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
		{
			cout <<root->_kv.first<<"不平衡" << endl;
			return false;
		}

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first <<"平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;

		return true;
	}

	bool IsBalance()
	{
		int height = 0;
		return _IsBalance(_root, height);
	}

6. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log2n)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
t << root->_kv.first <<“平衡因子异常” << endl;
return false;
}

	height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;

	return true;
}

bool IsBalance()
{
	int height = 0;
	return _IsBalance(_root, height);
}




## 6. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即**O(log2n)**。但是**如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下**，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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