题目描述

给定一行 $n$ 个非负整数 $a_1\cdots a_n$。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过 $k$ 个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。

输入格式

第一行两个整数 $n$，$k$。

以下 $n$ 行，每行一个整数表示 $a_i$。

输出格式

输出一个值表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1
2
3
4
5

样例输出 #1

12

提示

对于 $20\%$ 的数据，$n\le 10$。

对于另外 $20\%$ 的数据，$k=1$。

对于 $60\%$ 的数据，$n\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100000$，$1\le k\le n$，$0\le$ 数字大小 $\le 1,000,000,000$。

时间限制 $500$ ms。

思路

将题意重新理解一下，将连续选数不超过 $k$ 个抽象为每隔长度小于 $k$
的区间内选择一个数删掉，那么我们定义 $f_i$ 为删除数 $a_i$ 时删除数字之和的最小值，易得状态转移方程：

f i = { a i   ,   i ≤ k m i n i − k + 1 i { f j } + a i   ,   i > k f_i= \begin{cases} a_i \ ,\ i \le k \\ min_{i-k+1}^i \{f_j\}+a_i\ ,\ i>k\\ \end{cases} fi​={ai​ , i≤kmini−k+1i​{fj​}+ai​ , i>k​

最后答案即 ∑ 1 n a i − m i n n − k − 1 n { f i } \sum_1^n a_i -min_{n-k-1}^n \{f_i\} ∑1n​ai​−minn−k−1n​{fi​}

很明显这是一个滑动窗口求区间最小值，因此我们使用单调队列来优化这个动态规划的实现。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define all(x) x.begin(), x.end()
#define bit1(x) __builtin_popcount(x)
#define Pqueue priority_queue
#define lc p << 1
#define rc p << 1 | 1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
#define fi first
#define se second

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll> PII;

const ll mod = 1000000007;
const ll N = 1e6 + 10;
const ld eps = 1e-9;
const ll inf = 1e18;
const ll P = 131;
const ll dir[8][2] = {1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1, -1};

void solve()
{
    int n, k;
    ll tot = 0;
    cin >> n >> k;
    vector<ll> f(n), a(n);
    for (ll &i : a)
        cin >> i, tot += i;
    deque<ll> q;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i <= k)
            f[i] = a[i];
        else
            f[i] = f[q.front()] + a[i];
        if (!q.empty() && i - q.front() >= k + 1)
            q.pop_front();
        while (!q.empty() && f[q.back()] > f[i])
            q.pop_back();
        q.push_back(i);
    }
    cout << tot - *min_element(f.end() - k - 1, f.end());
}

int main()
{
    IOS int T = 1;
    // cin>>T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}

/*
oxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxox
x                                                                                      o
o       _/_/_/_/                                                              _/       x
x      _/                                                                              o
o     _/_/_/_/ _/  _/_/   _/_/   _/_/_/ _/_/   _/_/_/     _/_/    _/_/_/    _/ _/   _/ x
x    _/       _/_/     _/    _/ _/   _/   _/  _/    _/ _/    _/  _/    _/  _/   _/ _/  o
o   _/       _/       _/    _/ _/   _/   _/  _/    _/ _/    _/  _/    _/  _/    _/_/   x
x  _/       _/         _/_/   _/   _/   _/  _/_/_/     _/_/ _/ _/    _/  _/      _/    o
o                                          _/                           _/      _/     x
x                                         _/                        _/_/       _/      o
o                                                                                      x
xo6xoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxo
*/