一、说明

        知道欧拉常数是什么吗？知道啥是调和级数吗？这里给出欧拉常数的来龙去脉，和调和级数以及ln(n)的关系。

欧拉-马斯刻若尼常数: Euler-Mascheroni Constant

二、起源

三、T_n是有界的

首先，我们给γ一个下限。 下面是 y = 1/x 的图。在这里，我们利用了众所周知的技巧，即将图下的面积与单位宽度的矩形条进行比较，高度等于该点的函数值。

从上面可以清楚地看出

概括地说，我们得到

在证明了T_n是从下面有界的之后，我们现在继续证明它也是从上面有界的，通过对上述方法的轻微操作。

以前，矩形的面积在曲线下方的面积中占主导地位。反之亦然呢？

我看看。

在这种情况下

再次，概括，我们得到

结合上述两个结果，我们得到

因此，T_n是有界的。

四、T_n单调递减

现在我们证明T_n单调递减，即，

证明 —

回想一下 ln（x） 的泰勒级数展开式 —

现在

Therefore, we can safely use the above Taylor series expansion. Continuing —

现在，观察一下，

这意味着上面总和中的第一个项以及每个项都是负数。从而证明

因此T_n单调递减。

现在，结合这两个事实——

• T_n是有界的。
• T_n正在单调递减。

使用单调收敛定理，我们得到T_n确实收敛到一个固定的极限。也就是说，γ存在。

五、为γ提供更严格的下限

综上所述，我们可以自信地说

但是我们能收紧吗？

如果我们用梯形代替矩形会怎样？

鉴于 y = 1/x 的凸性质，梯形覆盖的面积大于曲线。

从上面，我们看到——

再一次，概括一下，我们得到——

现在，由于

因此，我们有——

因此，我们将γ的下限从 0 提高到 1/2。

事实证明，γ，正确到小数点后 5 位的值是 0.57721，离我们的下限不远！

六、关于序列收敛的其他内容

这是一个辅助部分，我们在其中明确地证明了我们已经（隐式）在上述部分中使用的结果。

假设有两个序列——

那么，我们必须——

证明 —

首先，让我们回顾一下序列收敛的含义。

现在，我们通过矛盾来构造一个证明。

上面的最后一行表示，对于 n > N₀，a_n 仅限于 a₀ 的 r 邻域，b_n 仅限于 b₀ 的 r 邻域。

从视觉上说——

以上可以明显看出——

因此，我们得出了一个矛盾。因此，我们的假设（a₀<b₀）是错误的。因此，a₀ ≥ b₀。

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