0202矩阵的运算-矩阵及其运算-线性代数

文章目录

- 一、矩阵的加法
- 二、数与矩阵相乘
- 三、矩阵与矩阵相乘
- 四、矩阵的转置
- 五、方阵的行列式
- 结语

一、矩阵的加法

定义2 设有两个 $m\times n$ 橘子 $A=(a_{ij})和B=(b_{ij})$ ,那么矩阵A与B的和记为A+B,规定为
$A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}$

**tips:**只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足下列运算规律（设A，B，C都是 $m\times n$ 矩阵）：

$A + B = B + A$
$(A + B) + C = A + (B + C)$

设矩阵 $A=(a_{ij})$ ，记

$A=(-a_{ij})$

-A称为矩阵A的负矩阵，显示有

$A + (- A) = O$

矩阵的减法为

$A - B = A + (- B)$

二、数与矩阵相乘

定义3 数 $\lambda$ 与矩阵A的乘积记作 $\lambda A或A\lambda$ ,规定为
$\lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots&\lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为 $m\times n$ 矩阵， $\lambda、\mu$ 为数）：

$(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)$
$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵加法和数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

三、矩阵与矩阵相乘

定义4 设 $A=(a_{ij})是一个m\times s$ 的矩阵, $B=(b_{ij})是一个s\times n$ 的矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $C=(c_{ij})$ ，其中

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{jk},(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$

并把此乘积记作

$C = A B$

说明：

乘积矩阵 $AB=C的(i,j)元c_{ij}$ 就是A的第 $i$ 行和B的第 $j$ 列的乘积。
只有当第一个矩阵的（左矩阵）的列数等于第二个矩阵的（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

例5 求矩阵
$A=\begin{pmatrix} 4&-1&2&1\\ 1&1&0&3\\ 0&3&1&4\\ \end{pmatrix} 与B=\begin{pmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 3&0\\ -1&2\\ \end{pmatrix}$
的乘积
$C=AB=\begin{pmatrix} 4+0+6-1&8-1+0+2\\ 1+0+0-3&2+1+0+6\\ 0+0+3-4&0+3+0+8\\ \end{pmatrix}\\ =C=AB=\begin{pmatrix} 9&9\\ -2&9\\ -1&11\\ \end{pmatrix}$
例6 求矩阵
$A=\begin{pmatrix} -2&4\\ 1&-2 \end{pmatrix} 与B=\begin{pmatrix} 2&4\\ -3&-6 \end{pmatrix}$
的乘积AB级BA
$AB=\begin{pmatrix} -16&-32\\ 8&16\\ \end{pmatrix}\\ BA=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}\\$
tips:

$A B$ 有意思，但是 $B A$ 不一定有意义；若 $B A$ 有意义，但AB与BA不一定相等。
对于n阶方阵A、B，若AB=BA,则称方阵A与B可交换。
若两个矩阵A、B满足 $A B = O$ ，不能得出 $A = O 或 B = O$ ；若 $A\not=O$ 而 $A (X - Y) = O$ ,不能得出 $X = Y$ 的结论。

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：

$(A B) C = A (BC)$
$\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
$A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A$

对于单位矩阵E，容易验证

$E_MA_{m\times n}=A_{m\times n},A_{m\times n}E_n=A_{m\times n}$

或简写EA=AE=A

矩阵
$\begin{pmatrix} \lambda&&&\\ &\lambda&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda\\ \end{pmatrix}$
称为纯量阵。由 $(\lambda E)A=\lambda A,A(\lambda E)=\lambda A$ ，可知纯量阵 $\lambda E与矩阵A$ 的乘积等于数 $\lambda$ 与A的乘积，当A位n阶方阵时，有

$(\lambda E)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E)$

表名纯量阵 $\lambda E$ 与任何同阶方阵都是可交换的。

矩阵的幂：设A是n阶方阵，定义 $A^1=A,A^2=A^1A^1,\cdots,A^{k+1}=A^kA^1$

其中 $k$ 为正整数。

矩阵的幂满足以下运算规律

$A^KA^l=A^{k+l},(A^k)^l=A^{kl}$

当矩阵A与B可交换时，满足下列运算规律

$AB)^k=A^kB^k$
$A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$A+B)(A-B)=A^2-B^2$

例7 上阶例1中n元线性方程组(1)
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_1,\\ \cdots\cdots\cdots\\ a_{m}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_1,\\ \end{cases}$
利用矩阵乘法可写成矩阵形式

$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$

其中 $A=(a_{ij})$ 为系数矩阵， $x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ 为未知数矩阵， $b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}$ 为常数项矩阵。特别当b=O时，得到吗哥方程的n元齐次线性方程组的矩阵形式

$A_{m\times n}x_{n\times 1}=0_{m\times 1}$

四、矩阵的转置

定义5 把矩阵A的行换成同序列的列得到一个新的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 $A^T$ .

矩阵的转置也是一种运算，满足下列运算过滤（假设运算都是可行的）：

$A^T)^T=A$
$A+B)^T=A^T+B^T$
$(\lambda A)^T=\lambda A^T$
$AB)^T=B^TA^T$

例8 已知
$A=\begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 1&3&2\\ \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} 1&7&-1\\ 4&2&3\\ 2&0&1\\ \end{pmatrix}\\$
求 $AB)^T$
$AB=A=\begin{pmatrix} 0&14&-3\\ 17&13&10\\ \end{pmatrix}\\ (AB)^T=\begin{pmatrix} 0&17\\ 14&13\\ -3&10\\ \end{pmatrix}$

五、方阵的行列式

定义6 有n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方程A的行列式，记作 $A或者\vert A\vert$

有A确定 $\vert A\vert$ 的这个运算满足下述运算规律（设A、B位n阶方阵，$\lambda $为数:

$\vert A^T\vert = \vert A\vert$
$|\lambda A\vert = \lambda^n \vert A\vert$
$\vert AB\vert = \vert A\vert \vert B\vert$

伴随矩阵：

行列式 $\vert A\vert$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下的矩阵
$A^*=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix}$
称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。