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- 1.二维圆
- 2.python代码
- 3.计算结果
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1.二维圆
已知不共线的三个点，设其坐标为
(
x
1
,
y
1
)
(x_1,y_1)
(x1,y1)、
(
x
2
,
y
2
)
(x_2,y_2)
(x2,y2)、
(
x
3
,
y
3
)
(x_3,y_3)
(x3,y3)，圆的一般方程为：
A
(
x
2
+
y
2
)
+
B
x
+
C
y
+
D
=
0
(1)
A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0\tag{1}
A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0(1)
将式(1)变形可得圆的标准方程为：
(
x
+
B
2
A
)
2
+
(
y
+
C
2
A
)
2
=
B
2
+
C
2
−
4
A
D
4
A
2
(2)
(x+\frac{B}{2A})^2+(y+\frac{C}{2A})^2=\frac{B^2+C^2-4AD}{4A^2}\tag{2}
(x+2AB)2+(y+2AC)2=4A2B2+C2−4AD(2)
将三个已知点代入式(1)，可得关于
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A,B,C,D的齐次线性方程组：
[
x
2
+
y
2
x
y
1
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
1
]
⋅
[
A
B
C
D
]
=
[
0
0
0
0
]
(3)
\left[ \begin{matrix} x^2+y^2 & x & y&1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3&1 \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} A\\ B \\ C \\ D \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\tag{3}
x2+y2x12+y12x22+y22x32+y32xx1x2x3yy1y2y31111
⋅
ABCD
=
0000
(3)
在三点不共线的前提下，该齐次线性方程组有非零解，其等价于系数矩阵不满秩，即有：
∣
x
2
+
y
2
x
y
1
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
1
∣
=
0
(4)
\left| \begin{matrix} x^2+y^2 & x & y&1\\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3&1 \\ \end{matrix} \right|=0\tag{4}
x2+y2x12+y12x22+y22x32+y32xx1x2x3yy1y2y31111
=0(4)
将式(4)展开，并与式(1)对比可得四个系数：
A
=
+
∣
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
∣
(5)
A=+\left| \begin{matrix} x_1 & y_1&1 \\ x_2 & y_2&1 \\ x_3 & y_3&1 \\ \end{matrix} \right|\tag{5}
A=+
x1x2x3y1y2y3111
(5)
B = − ∣ x 1 2 + y 1 2 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 y 3 1 ∣ (6) B=-\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2& y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3&1 \\ \end{matrix} \right|\tag{6} B=− x12+y12x22+y22x32+y32y1y2y3111 (6)
C = + ∣ x 1 2 + y 1 2 x 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 1 ∣ (7) C=+\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 &1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 &1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 &1 \\ \end{matrix} \right|\tag{7} C=+ x12+y12x22+y22x32+y32x1x2x3111 (7)
D
=
−
∣
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
∣
(8)
D=-\left| \begin{matrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 \\ \end{matrix} \right|\tag{8}
D=−
x12+y12x22+y22x32+y32x1x2x3y1y2y3
(8)
由式(2)可得圆心坐标
(
x
c
,
y
c
)
(x_c,y_c)
(xc,yc)和半径
r
r
r，即
{
x
c
=
−
B
2
A
y
c
=
−
C
2
A
r
=
B
2
+
C
2
−
4
A
D
4
A
2
(9)
\begin{cases} x_c=-\frac{B}{2A}\\ y_c=-\frac{C}{2A}\\ r=\sqrt\frac{B^2+C^2-4AD}{4A^2} \end{cases} \tag{9}
⎩
⎨
⎧xc=−2AByc=−2ACr=4A2B2+C2−4AD(9)
2.python代码
import numpy as np
def three_points_fit_circle(points):
P1 = points[0]
P2 = points[1]
P3 = points[2]
# 共线检查
temp01 = P1 - P2
temp02 = P3 - P2
temp03 = np.cross(temp01, temp02)
temp = (temp03 @ temp03) / (temp01 @ temp01) / (temp02 @ temp02)
if temp < 10 ** -6:
print('\t三点共线, 无法确定圆')
return None
A = np.ones((3, 3))
A[0, 0] = P1[0]
A[0, 1] = P1[1]
A[1, 0] = P2[0]
A[1, 1] = P2[1]
A[2, 0] = P3[0]
A[2, 1] = P3[1]
B = np.ones((3, 3))
B[0, 0] = P1[0] ** 2 + P1[1] ** 2
B[0, 1] = P1[1]
B[1, 0] = P2[0] ** 2 + P2[1] ** 2
B[1, 1] = P2[1]
B[2, 0] = P2[0] ** 2 + P2[1] ** 2
B[2, 1] = P3[1]
C = np.ones((3, 3))
C[0, 0] = P1[0] ** 2 + P1[1] ** 2
C[0, 1] = P1[0]
C[1, 0] = P2[0] ** 2 + P2[1] ** 2
C[1, 1] = P2[0]
C[2, 0] = P2[0] ** 2 + P2[1] ** 2
C[2, 1] = P3[0]
D = np.ones((3, 3))
D[0, 0] = P1[0] ** 2 + P1[1] ** 2
D[0, 1] = P1[0]
D[0, 2] = P1[1]
D[1, 0] = P2[0] ** 2 + P2[1] ** 2
D[1, 1] = P2[0]
D[1, 2] = P2[1]
D[2, 0] = P2[0] ** 2 + P2[1] ** 2
D[2, 1] = P3[0]
D[2, 2] = P3[1]
A = +np.linalg.det(A)
B = -np.linalg.det(B)
C = +np.linalg.det(C)
D = -np.linalg.det(D)
Xc = -B / (2 * A)
Yc = -C / (2 * A)
r = np.sqrt((B * B + C * C - 4 * A * D) / (4 * A * A))
return Xc, Yc, r
3.计算结果
圆心x坐标:14.558850728542366
圆心y坐标:11.80858513779518
圆半径:22.163390629231692
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