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一、图的基本介绍

1.1 为什么要有图

• 前面我们学了线性表和树
• 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
• 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
• 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图

1.2 图的举例说明

图是一种数据结构，其中节点可以具有零个或者多个相邻元素。两个节点之间的连接称为边。节点也可以称为顶点。如下图，展示了一些图：

1.3 图的常用概念

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二、图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵） 和 链表表示（邻接表）

2.1 邻接矩阵

2.2 邻接表

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三、图的快速入门案例

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四、图的遍历

所谓图的遍历，就是对节点的访问。一个图有那么多个节点，如何遍历这些节点，需要特定的策略，一般有两种访问遍历策略：

• 深度优先遍历 DFS
• 广度优先遍历 BFS

4.1 深度优先遍历 DFS

4.1.1 基本思想

4.1.2 算法步骤

4.1.3 图示

4.2 广度优先遍历 BFS

4.2.1 基本思想

4.2.2 算法步骤

4.2.3 图示

4.3 代码实现图及两种遍历方式

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
    private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
    private int numOfEdges; //表示边的数目
    //定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
        //测试一把图是否创建ok
        int n = 8;  //结点的个数
        //String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        String Vertexs[] = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环的添加顶点
        for (String vertex : Vertexs) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
//		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
//		graph.insertEdge(0, 2, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 2, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 3, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 4, 1); //

        //更新边的关系
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);


        //显示一把邻结矩阵
        graph.showGraph();

        //测试一把，我们的dfs遍历是否ok
        System.out.println("深度优先遍历：");
        graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
//		System.out.println();
        System.out.println("\n广度优先遍历：");
        graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]

    }

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;

    }

    //得到第一个邻接结点的下标 w

    /**
     * @param index
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    //i 第一次就是 0
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {//说明有
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }

    }

    //对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; // 表示队列的头结点对应下标
        int w; // 邻接结点w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
            }
        }

    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标即使第几个顶点  "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }

}

输出：

[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
深度优先遍历：
1->2->4->8->5->3->6->7->
广度优先遍历：
1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>