华中杯数学建模思路
光纤传感技术是伴随着光纤及光通信技术发展起来的一种新型传感器技 术。它是以光波为传感信号、光纤为传输载体来感知外界环境中的信号，其基本原理是当外界环境参数发生变化时，会引起光纤传感器中光波参量（如波长、相位、强度等）的变化，即外界信号变化会对光信号产生调制。光纤传感器具有质地轻、体积小、弯曲性能好，抗电磁干扰能力强，灵敏度高，易于安装使用等优点。光纤传感技术最重要的是实时获得结构实时应变信息，再通过解调出来的应变参数来重构得到结构的形变或位移。光纤传感器已在许多领域有实际应用，比如能够对结肠部位进行形状重建等。通过光纤传感器解调系统解调出来的应变信息，间接求出曲率等信息，并基于离散曲率信息对曲线进行重构
为了便于波长测量，在生产光纤时，已在等间距位置布设好传感器，本次传感器间距为 0.6 米。在测量时，先在光纤水平状态（即初始状态如图 1所示）测量各个传感器位置处信号的波长，然后在受到外力后（如图 2 所示）
测量各个传感器位置处信号的波长。波长?与曲线曲率?之间的关系近似为? = c(? ?− 0 ?0),其中?0是水平光纤在初始状态下测量的波长，?是光纤在受到外力后测量的波长，?为某个常数，这里假设为 4200。本次实验分别测量了两组不同初始状态下受力前后的波长值，具体数据见表 1，并请解决如下问题。
问题 1.请根据表 1 给出的波长测量数据，构建数学模型，估算平面光栅各个传感点(FBG1-FBG6)的曲率。进一步，假设初始点坐标为原点，初始的水平光纤方向为?轴，垂直方向为?轴，光纤在平面内受力后在初始位置的切线与水平方向的夹角为 45 o，请建立模型估算下列表格中横坐标?轴相应位置处的曲率。
问题 2.请根据表 1 波长测量数据和问题 1 求出的曲率，构建数学模型，分别重构平面曲线，并分析曲线的特点。
问题 3.请根据平面曲线方程? = ? 3 + ?(0 ≤ ? ≤ 1)，以适当的等间距弧长采样，计算这些采样点的曲率。然后以采样的曲率为基础，构建数学模型，重构平面曲线，并分析重构曲线与原始曲线出现误差的原因。
精力有限，以下只是简略的图文版初步思路，更详细的视频版完整讲解请移步：
2024华中杯数学建模选题建议及ABC题详细思路！_哔哩哔哩_bilibili
问题1: 根据波长测量数据估算曲率
数据预处理
1. 波长数据解析：从表中提取初始和测试阶段的波长数据。
2. 曲率计算：使用给定的关系公式
来计算曲率，c为常数（4200）。
数学模型建立
1. 离散点曲率估计：针对每个传感点，根据波长的变化计算其曲率。
2. 曲率插值：为表中未直接给出曲率的横坐标（0.3米, 0.4米, 等），使用插值方法（如线性插值或样条插值）基于已知曲率点估计这些位置的曲率。
问题2: 重构平面曲线并分析特点
曲线重构
1. 基于曲率的曲线积分：使用从问题1得到的曲率信息，通过数值积分方法（如欧拉法或龙格-库塔法）重构出平面曲线的形状。
2. 坐标系转换：考虑到曲线的初始切线与水平方向的夹角为45度，需要对积分后的坐标进行适当旋转。
特点分析
1. 几何特性分析：分析重构曲线的长度、曲率变化等几何属性。
2. 实用性评估：考虑到实际应用中的误差因素，如光纤的弯曲性和弹性，讨论这些因素对曲线形状的潜在影响。
问题3: 重构曲线并分析误差原因
曲率采样与重构
1. 理论曲线曲率计算：根据给定的平面曲线方程
计算理论上的曲率。
2. 等弧长采样：采用等弧长采样技术获取样本点的曲率，这涉及到计算曲线的弧长并按等间距分割。
曲线重建与误差分析
1. 基于采样曲率重建曲线：使用采样得到的曲率通过数值方法重构曲线。
2. 误差源分析：比较原始曲线和重构曲线，分析造成误差的可能原因，如采样不足、数值积分误差等。
OK，上述思路的文档领取、视频讲解以及后续的完整成品论文预定请点击我的下方个人卡片查看↓：
