踏上R语言之旅：解锁数据世界的神秘密码（一）

R语言学习

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R语言学习
数据矩阵与R语言表示
- 1.创建一个向量（随机变量、一维数组）
- 2.创建一个矩阵（二维数组）
- 3.矩阵转置
- 4.矩阵相加减
- 5.矩阵相乘
- 6.矩阵对角元素相关运算
- 7.矩阵求逆
- 8.矩阵的特征值与特征向量
- 9.矩阵的Choleskey分解
- 10.矩阵奇异值分解
- 11.矩阵QR分解
- 12.矩阵kronecker积
- 13.矩阵的维数
- 14.矩阵的行和、列和、行平均与列平均
总结

数据矩阵与R语言表示

1.创建一个向量（随机变量、一维数组）

在R中可以用函数c()来创建一个向量，例如

>x1=c(171,175,159,155,152,158,154,164,168,166,159,164)

> x2=c(57,64,41,38,35,44,41,51,57,49,47,46)

这里，x1，x2分别为行向量，也可以认为是1行12列的矩阵。
函数length()可以返回向量的长度，mode()可以返回向量的数据类型，例如：

> length(x1)
[1] 12

> mode(x1)
[1] "numeric"

2.创建一个矩阵（二维数组）

（1）合并命令。可以用rbind()、cbind()将两个以上的向量或矩阵合并起来，

rbind()表示按行合并，cbind()则表示按列合并。

> rbind(x1,x2)
   [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
x1  171  175  159  155  152  158  154  164  168   166   159   164
x2   57   64   41   38   35   44   41   51   57    49    47    46

> cbind(x1,x2)
       x1 x2
 [1,] 171 57
 [2,] 175 64
 [3,] 159 41
 [4,] 155 38
 [5,] 152 35
 [6,] 158 44
 [7,] 154 41
 [8,] 164 51
 [9,] 168 57
[10,] 166 49
[11,] 159 47
[12,] 164 46

(2)生成矩阵。在R中可以用函数matrix()来创建一个矩阵，引用该函数时需要输入必要的参数值。

> matrix(data=NA,nrow=1,ncol=1,byrow=FALSE,dimnames=NULL)
     [,1]
[1,]   NA

data项为必要的矩阵元素，nrow为行数，ncol为列数，注意nrow与ncol的乘积应为矩阵元素个数，byrow项控制排列元素时是否按行进行，dimnames给定行和列的名称，例如：

 matrix(x1,nrow=3,ncol=4)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]  171  155  154  166
[2,]  175  152  164  159
[3,]  159  158  168  164

 matrix(x1,nrow=4,ncol=3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  171  152  168
[2,]  175  158  166
[3,]  159  154  159
[4,]  155  164  164

 matrix(x1,nrow=4,ncol=3,byrow=T)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]  171  175  159
[2,]  155  152  158
[3,]  154  164  168
[4,]  166  159  164

3.矩阵转置

A为mxn矩阵，A’为其转置矩阵，求A’在R中可用函数t()，例如：

> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12
> t(A)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    4    5    6
[3,]    7    8    9
[4,]   10   11   12

4.矩阵相加减

在R中对同行同列矩阵相加减，可用符号“+”、“-”，例如：

> A=B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> A+B
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    8   14   20
[2,]    4   10   16   22
[3,]    6   12   18   24
> A-B
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    0    0    0
[2,]    0    0    0    0
[3,]    0    0    0    0

5.矩阵相乘

A为mxn矩阵，B为nxk矩阵，在R中求AB可用符号“%*%"，例如：

> A=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4)
> B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3)
> A%*%B
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   70  158  246
[2,]   80  184  288
[3,]   90  210  330

6.矩阵对角元素相关运算

若要取一个方阵的对角元素，对一个向量应用diag()函数将产生以这个向量为对角元素的对角矩阵，对一个正整数k应用diag()函数将产生k维单位矩阵，例如：

> A=matrix(1:16,nrow=4,ncol=4)
> diag(A)
[1]  1  6 11 16
> diag(diag(A))
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    0    0    0
[2,]    0    6    0    0
[3,]    0    0   11    0
[4,]    0    0    0   16
> diag(4)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    0    0    0
[2,]    0    1    0    0
[3,]    0    0    1    0
[4,]    0    0    0    1

7.矩阵求逆

矩阵求逆可用solve()，应用solve(A,b)运算结果可解线性方程组Ax=b,若b缺省，则系统默认为单位矩阵，由此可用其进行矩阵求逆，例如：

> A=matrix(rnorm(16),4,4);
> A
           [,1]       [,2]        [,3]       [,4]
[1,] -0.2930984 -1.7887997 -0.13792868  0.8021037
[2,] -1.3322062  0.3419297  1.18732716 -1.8372907
[3,]  1.0203442 -2.4283146  0.03727872 -2.4674615
[4,] -0.9507527  0.6046697 -0.79238198 -0.1241637
> solve(A)
            [,1]        [,2]       [,3]        [,4]
[1,] -0.35916036 -0.30123211  0.1268138 -0.38288995
[2,] -0.39760300 -0.02206908 -0.1143649  0.03076075
[3,]  0.08927873  0.35986115 -0.2013035 -0.74780287
[4,]  0.24412384 -0.09740967 -0.2433257 -0.19990320

8.矩阵的特征值与特征向量

矩阵A的谱分解为A=UΛU’，其中Λ是由A的特征值组成的对角矩阵，U的列为A的特征值对应的特征向量，在R中可以用函数eigen()得到U和Λ。

eigen(x,symmetric,only.values=FALSE,EISPACK=FALSE)

其中，x为矩阵，symmetric项指定矩阵x是否为对称矩阵，若不指定，系统将自动检测x是否为对称矩阵，例如：

> A=diag(4)+1;A;
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    1    1    1
[2,]    1    2    1    1
[3,]    1    1    2    1
[4,]    1    1    1    2
> A.e=eigen(A,symmetric=T)
> A.e
eigen() decomposition
$values
[1] 5 1 1 1

$vectors
     [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
[1,] -0.5  0.8660254  0.0000000  0.0000000
[2,] -0.5 -0.2886751 -0.5773503 -0.5773503
[3,] -0.5 -0.2886751 -0.2113249  0.7886751
[4,] -0.5 -0.2886751  0.7886751 -0.2113249

> A.e$vector%*%diag(A.e$values)%*%t(A.e$vectors)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    1    1    1
[2,]    1    2    1    1
[3,]    1    1    2    1
[4,]    1    1    1    2

上面最后的语句作用是重构原始矩阵，其中 A.e$vector 是原始矩阵的特征向量，diag(A.e$values) 是一个以特征值为对角线元素的对角矩阵，t(A.e$vectors) 是特征向量的转置矩阵。

9.矩阵的Choleskey分解

对于正定矩阵A,可对其进行Choleskey分解，即A=P’P,其中，P为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()进行Choleskey分解，例如：

> A.c=chol(A)
> A.c
         [,1]      [,2]      [,3]      [,4]
[1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068 0.7071068
[2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483 0.4082483
[3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005 0.2886751
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 1.1180340
> t(A.c)%*%A.c
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    2    1    1    1
[2,]    1    2    1    1
[3,]    1    1    2    1
[4,]    1    1    1    2

10.矩阵奇异值分解

A为mxn矩阵，rank(A)=r,可以分解为A=UDV’,其中，U’U=V’V=I。在R中可以用函数svd()进行奇异值分解,例如：

> A=matrix(1:18,3,6);A;
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    4    7   10   13   16
[2,]    2    5    8   11   14   17
[3,]    3    6    9   12   15   18
> A.s=svd(A)
> A.s
$d
[1] 4.589453e+01 1.640705e+00 1.366522e-15

$u
           [,1]        [,2]       [,3]
[1,] -0.5290354  0.74394551  0.4082483
[2,] -0.5760715  0.03840487 -0.8164966
[3,] -0.6231077 -0.66713577  0.4082483

$v
            [,1]        [,2]       [,3]
[1,] -0.07736219 -0.71960032 -0.4076688
[2,] -0.19033085 -0.50893247  0.5745647
[3,] -0.30329950 -0.29826463 -0.0280114
[4,] -0.41626816 -0.08759679  0.2226621
[5,] -0.52923682  0.12307105 -0.6212052
[6,] -0.64220548  0.33373889  0.2596585

> A.s$u%*%diag(A.s$d)%*%t(A.s$v)
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,]    1    4    7   10   13   16
[2,]    2    5    8   11   14   17
[3,]    3    6    9   12   15   18

11.矩阵QR分解

A为mxn矩阵时可以进行QR分解，A=QR，其中，Q’Q=I,在R中可以用函数qr()进行QR分解，例如：

> A=matrix(1:16,4,4)
> qr(A)
$qr
           [,1]        [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -5.4772256 -12.7801930 -2.008316e+01 -2.738613e+01
[2,]  0.3651484  -3.2659863 -6.531973e+00 -9.797959e+00
[3,]  0.5477226  -0.3781696  1.601186e-15  2.217027e-15
[4,]  0.7302967  -0.9124744 -5.547002e-01 -1.478018e-15

$rank
[1] 2

$qraux
[1] 1.182574e+00 1.156135e+00 1.832050e+00 1.478018e-15

$pivot
[1] 1 2 3 4

attr(,"class")
[1] "qr"

12.矩阵kronecker积

nxm矩阵A与hxk矩阵B的kronecker积为一个nhxmk维矩阵，在R中，kronecker积可以用函数kronecker()来计算，例如：

> A=matrix(1:4,2,2)
> A
     [,1] [,2]
[1,]    1    3
[2,]    2    4
> B=matrix(rep(1,4),2,2);B;
     [,1] [,2]
[1,]    1    1
[2,]    1    1
> kronecker(A,B)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    1    3    3
[2,]    1    1    3    3
[3,]    2    2    4    4
[4,]    2    2    4    4

13.矩阵的维数

在R中很容易得到一个矩阵的维数，函数dim()将返回一个矩阵的维数，nrow()返回行数，ncol()返回列数,例如：

> A=matrix(1:12,3,4)
> dim(A)
[1] 3 4
> nrow(A)
[1] 3
> ncol(A)
[1] 4

14.矩阵的行和、列和、行平均与列平均

一个矩阵的和、平均数以及列的和、平均数，例如：
rowSums() rowMeans() colSums() colMeans()

> rowSums(A)
[1] 22 26 30
> rowMeans(A)
[1] 5.5 6.5 7.5
> colSums(A)
[1]  6 15 24 33
> colMeans(A)
[1]  2  5  8 11
> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12

上述关于矩阵行和列的操作，还可以使用apply()函数实现：

apply(X,MARGIN,FUN,…)
其中，X为矩阵，MARGIN用来指定是对行运算还是对列运算，MARGIN=1表示对行运算，MARGIN=2表示对列运算，FUN用来指定运算函数，”…"用来给定FUN中需要的其他参数,例如：

> apply(A,1,sum)
[1] 22 26 30
> apply(A,1,mean)
[1] 5.5 6.5 7.5
> apply(A,2,sum)
[1]  6 15 24 33
> apply(A,2,mean)
[1]  2  5  8 11

apply()函数还可以对矩阵的行或列进行其他运算，例如计算每一列的方差：

> A=matrix(rnorm(10),2,5)
> apply(A,2,var)
[1] 0.06233338 1.72555863 0.45365134 0.83043694 0.37709323
> apply(A,2,function(x,a)x*a,a=2)
          [,1]      [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
[1,] -2.437330 -1.090969 -1.5564223  1.9951652  0.3086047
[2,] -1.731167  2.624468  0.3486265 -0.5823327 -1.4282735