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1.,首先这个图居然给出了基和对偶基相等这个概念。我需要说明一下这个概念的来源。

1.1.,对偶基一开始是来自高等代数的线性空间，然后是泛函分析中的赋范线性空间的共轭空间。至于基的概念，赋范线性空间并没有，可能是因为正交需要内积来定义，所以只有hilbert空间有直交系的概念，直交系跟基的概念差不多。这里对偶基都相等了，那只能是hilbert空间了。问题是这里的空间元素是什么函数？首先我只考虑连续复值函数空间C[a,b]，这是完备的赋范向量空间，然后定义内积就是hilbert空间了，那么情况1就好理解了。不过书上之后到底是用于离散函数呢？这个就不好说了。我看到了之后的内容后，发现书上的尺度函数属于L2(R)，而L2(R)是hilbert空间，那么以后就只看这个空间了。

1.2.,情况2的内容就是单位正交基和一般的正交基。但是书上说出成是正交和不和自身正交，这种说法如果不懂数学简直是胡说八道。我确信英文作者的数学基础不行，而翻译者的数学基础更不行。把dual翻译成了二重，应该是对偶。特别是前面的滤波器的taps翻译为插头简直是脑残。明显是表示节拍的拍。

1.2.1.,情况2说的基函数和对偶双正交，其实是线性空间和对偶空间的定义了，都不需要赋范就有的，更不需要内积了。没啥可以说的。

1.3.,情况3说的啥？不是V的基，但是支持展开。如何理解？实际上V是线性闭子空间，那就是写成了级数形式，而公式7.2.1已经超越了可列个数的和，而是不可列个数的和，居然还不是V的基。然后书上说是超完备的，冗余的，那就是确实是不可列个函数相加了。

但是还有个问题，要成为线性闭子空间，需要成为哪个内积空间的闭子空间？而且就算是闭子空间也不一定完备。书上完全没给出，看来是作者不懂瞎写了，抄没抄全。

1.3.1.,至于公式7.3.8第二个不等式是贝塞尔不等式。至于第一个不等式，是因为V中的任意元素f是展开集合中至多可列个组合(本来是有限个组合，但是变成闭包就是可列个了。)，所以展开集合其他的元素和f的内积平方>=0。实际上A=1,B=1。这里f属于V的时候是取等号的。因为作者不懂瞎写。