最长上升子序列

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 $10^6$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

样例输出 #1

4

提示

分别取出 $1$、$2$、$3$、$4$ 即可。

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思路

首先，定义一个整数 n 来存储序列的长度，和一个整数数组 a 来存储序列的元素。同时，定义一个长整型数组 dp 来存储动态规划的状态，dp[i] 存储的是长度为 i 的上升子序列的最小末尾元素。

在 main 函数中，首先读取序列的长度 n，然后读取序列的元素。然后，对序列的每个元素进行处理，找到在 dp 数组中第一个大于或等于当前元素的位置 pos。这里使用了 lower_bound 函数，这是一个标准库中的二分查找函数。如果 pos 大于当前的最长上升子序列的长度 len，则更新 len。最后，将当前元素放在 dp 数组的 pos 位置。

dp[i] 存储的是长度为 i 的上升子序列的最小末尾元素。当遍历到一个新的元素时，如果这个元素大于所有已有的上升子序列的末尾元素，则可以将这个元素接在最长的上升子序列后面，形成一个更长的上升子序列。否则，找到一个已有的上升子序列，它的末尾元素大于或等于这个元素，然后用这个元素替换那个末尾元素。这样做的目的是尽可能地使上升子序列的末尾元素小，以便有更多的机会接上新的元素。

最后，输出最长上升子序列的长度 len。

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AC代码

#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;

int n;
int a[N];
ll dp[N];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}

	int len = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int pos = lower_bound(dp + 1, dp + len + 1, a[i]) - dp;
		len = max(len, pos);
		dp[pos] = a[i];
	}
	cout << len << "\n";
	return 0;
}