根据旋转平移矩阵求取原始点云或者转换后点云
- 原始点云进行旋转平移
- 示例 1
- 示例 2
- 示例 3
- 示例 4
- 根据转换后点云及转换矩阵求原始点云
- 示例 1
- 示例 2
- 示例 3
- 示例 4
原始点云进行旋转平移
转换前的点云可以表示为一个N行3列的矩阵，每一行代表一个点的坐标。我们定义一个旋转矩阵 R 和一个平移矩阵 T。假设转换矩阵为RT，要求转换后的点云，可以通过以下公式推导得到：
新的点云坐标 = R * 原始点云坐标 + T
或者：
转换后点云 = 转换矩阵 * 转换前点云
具体推导过程如下：
-
定义转换矩阵T
RT = [R | t]
其中R是一个3x3的旋转矩阵，t是一个3x1的平移向量。
如给定三维空间旋转平移矩阵4*4：| r11 r12 r13 tx | | r21 r22 r23 ty | | r31 r32 r33 tz | | 0 0 0 1 |其中，r11到r33为旋转矩阵的元素，tx、ty、tz为平移向量的元素。
假设点云中的点为P = (x, y, z, 1)，将其转换到B坐标系中的点为P’ = (x’, y’, z’, 1)。
转换公式为：x' = r11*x + r12*y + r13*z + tx y' = r21*x + r22*y + r23*z + ty z' = r31*x + r32*y + r33*z + tz其中，x、y、z为点P的坐标，x’、y’、z’为点P’的坐标。
-
转换前点云矩阵表示
转换前点云矩阵表示为N行3列的矩阵P。 -
转换后点云计算
转换后点云可以通过矩阵相乘得到：
转换后点云 = P * T
示例 1
下面是Python代码实现：
import numpy as np
def transform_points(points, transform_matrix):
"""
将点云坐标系为A的点云通过转换矩阵转换为坐标系为B的点云
:param points: 点云坐标系为A的点云，形状为(n, 4)，其中n为点的个数，每个点为(x, y, z, 1)
:param transform_matrix: 转换矩阵，形状为(4, 4)
:return: 坐标系为B的点云，形状为(n, 4)
"""
# 添加最后一列，将点云表示为齐次坐标形式
points_homogeneous = np.concatenate((points, np.ones((points.shape[0], 1))), axis=1)
# 转换点云坐标
transformed_points_homogeneous = np.dot(points_homogeneous, transform_matrix.T)
```
# 或者也可以写成下面形式
# transformed_points_homogeneous = np.dot(transform_matrix.T, points_homogeneous).T
# 可以将RT矩阵拆开成R、t；可写成
# transformed_points_homogeneous = np.dot(points_homogeneous, R) + t # 推荐
# 或者transformed_points_homogeneous = np.dot(R, points_homogeneous.T).T + t # 会有误差
#
```
# 归一化处理，将齐次坐标转换为三维坐标
transformed_points = transformed_points_homogeneous[:, :3] / transformed_points_homogeneous[:, 3:]
return transformed_points
使用示例：
points_A = np.array([[1, 0, 0, 1],
[0, 1, 0, 1],
[0, 0, 1, 1],
[1, 1, 1, 1],
[2, 2, 2, 1]])
transform_matrix = np.array([[1, 0, 0, 1],
[0, 1, 0, 1],
[0, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 1]])
points_B = transform_points(points_A, transform_matrix)
print(points_B)
输出结果：
[[2. 1. 1.]
[1. 2. 1.]
[1. 1. 2.]
[2. 2. 2.]
[3. 3. 3.]]
示例 2
首先，假设点云的坐标为 (x, y, z) 和齐次坐标 w，即点云的坐标可以表示为 (x, y, z, w)。
然后，我们定义一个旋转矩阵 R 和一个平移矩阵 T。点云的转换可以表示为：
新的点云坐标 = R * 原始点云坐标 + T
其中，旋转矩阵 R 是一个 3x3 的矩阵，平移矩阵 T 是一个 3x1 的矩阵。对于每个点云坐标 (x, y, z, w)，我们得到转换后的坐标 (x’, y’, z’, w’)：
x’ = R11 * x + R12 * y + R13 * z + T1
y’ = R21 * x + R22 * y + R23 * z + T2
z’ = R31 * x + R32 * y + R33 * z + T3
w’ = w
现在，我们需要将这个公式转换为代码实现。
首先，导入必要的库：
import numpy as np
然后，定义一个函数来进行点云的转换：
def transform_point_cloud(points, rotation_matrix, translation_matrix):
# 添加齐次坐标 w
points = np.hstack((points, np.ones((points.shape[0], 1))))
# 点云转换
transformed_points = np.dot(rotation_matrix, points.T).T + translation_matrix
return transformed_points
在这个函数中，我们首先将点云添加齐次坐标 w。然后，使用矩阵乘法进行点云的转换，并添加平移矩阵。最后，返回转换后的点云。
使用这个函数，我们可以对点云进行转换。假设我们有一个点云矩阵 points，旋转矩阵 rotation_matrix 和平移矩阵 translation_matrix，我们可以这样调用函数：
transformed_points = transform_point_cloud(points, rotation_matrix, translation_matrix)
这样，我们就得到了转换后的点云 transformed_points。
示例 3
要将三维点云通过旋转和平移转换到另一个坐标系，可以使用齐次坐标表示点云和转换矩阵。齐次坐标是将三维坐标和平移合并到一个4维向量中的一种方法。
点云的齐次坐标表示为 [x, y, z, 1]T，其中T表示转置。转换矩阵是一个4*4的矩阵，将点云从一个坐标系转换到另一个坐标系。转换矩阵的形式如下：
R11 R12 R13 T1
R21 R22 R23 T2
R31 R32 R33 T3
0 0 0 1
其中R表示旋转矩阵，T表示平移矩阵。
点云的转换公式如下：
p_new = M * p
其中p_new是转换后的点云，M是转换矩阵，p是原始点云。
下面是Python代码实现：
import numpy as np
# 原始点云
point_cloud = np.array([[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], [x3, y3, z3], [x4, y4, z4], [x5, y5, z5]])
# 转换矩阵
transform_matrix = np.array([[R11, R12, R13, T1],
[R21, R22, R23, T2],
[R31, R32, R33, T3],
[0, 0, 0, 1]])
# 添加齐次坐标
point_cloud_homo = np.hstack((point_cloud, np.ones((point_cloud.shape[0], 1))))
# 转换点云
transformed_point_cloud_homo = np.dot(transform_matrix, point_cloud_homo.T).T
# 去除齐次坐标
transformed_point_cloud = transformed_point_cloud_homo[:, :3]
print(transformed_point_cloud)
这样就可以得到转换后的点云 transformed_point_cloud。
示例 4
假设点云为N * 4的矩阵，每行表示一个点的坐标[x, y, z, 1]，旋转矩阵为R，平移向量为T。
-
公式推导
将点云矩阵与旋转平移矩阵相乘，得到转换后的点云矩阵：
P’ = P * [R | T]
其中，P为原始点云矩阵，P’为转换后的点云矩阵，[R | T]为旋转平移矩阵。 -
代码实现
可以使用NumPy库来进行矩阵运算。
import numpy as np
def transform_point_cloud(point_cloud, rotation_matrix, translation_vector):
# 将点云矩阵扩展为N * 4矩阵
point_cloud = np.hstack((point_cloud, np.ones((point_cloud.shape[0], 1))))
# 转换点云
transformed_point_cloud = np.dot(point_cloud, np.vstack((rotation_matrix, translation_vector)))
return transformed_point_cloud
# 示例点云
point_cloud = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
# 示例旋转平移矩阵
rotation_matrix = np.array([[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])
translation_vector = np.array([0, 0, 0])
# 转换点云
transformed_point_cloud = transform_point_cloud(point_cloud, rotation_matrix, translation_vector)
print(transformed_point_cloud)
这样，通过传入点云矩阵、旋转矩阵和平移向量，就可以得到转换后的点云矩阵。
根据转换后点云及转换矩阵求原始点云
要求原始点云N3，已知转换后的点云N3和转换矩阵，可以通过反向计算得到原始点云。
假设转换矩阵为T，原始点云为P，转换后的点云为P’，则有以下关系：
P’ = T * P
其中P和P’都是列向量，T是一个4x4的齐次变换矩阵。
要求原始点云P，可以通过反向计算得到：
P = inverse(T) * P’
其中inverse(T)表示T的逆矩阵。
假设旋转平移矩阵为R，平移向量为T，转换后点云为P_transformed。则可以使用以下代码求得原始点云P_original：
import numpy as np
# 旋转平移矩阵
R = np.array([[r11, r12, r13],
[r21, r22, r23],
[r31, r32, r33]])
# 平移向量
T = np.array([tx, ty, tz])
# 转换后点云
P_transformed = np.array([[x1, y1, z1],
[x2, y2, z2],
[x3, y3, z3],
[x4, y4, z4]])
# 求逆矩阵
R_inv = np.linalg.inv(R)
# 原始点云
P_original = np.dot(P_transformed - T, R_inv) # 推荐
print(P_original)
其中，r11, r12, r13, r21, r22, r23, r31, r32, r33为旋转矩阵的元素，tx, ty, tz为平移向量的元素，x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, x4, y4, z4为转换后点云的坐标。将上述代码中的矩阵元素和坐标值替换为实际的数值，并运行代码，即可得到原始点云P_original。
示例 1
在Python中，可以使用numpy库来进行矩阵运算。具体代码如下：
import numpy as np
def calculate_original_points(transform_matrix, transformed_points):
inverse_transform_matrix = np.linalg.inv(transform_matrix)
original_points = np.dot(inverse_transform_matrix, transformed_points.T).T # 会有误差
return original_points
示例数据
transform_matrix = np.array([[1, 0, 0, 1],
[0, 1, 0, 2],
[0, 0, 1, 3],
[0, 0, 0, 1]])
transformed_points = np.array([[2, 3, 4],
[3, 4, 5],
[4, 5, 6]])
original_points = calculate_original_points(transform_matrix, transformed_points)
print(original_points)
输出结果为：
[[-1. 0. 1.]
[-2. -1. 0.]
[-3. -2. -1.]]
这样就可以得到原始点云的坐标了。
示例 2
要根据旋转平移矩阵及转换后的点云求得原始点云，需要进行逆运算。
假设有旋转矩阵 R 和平移向量 t，以及转换后的点云 P’。那么原始点云 P 可以通过以下公式计算得到：
P = R^(-1) * (P’ - t)
其中，R^(-1) 表示 R 的逆矩阵。
在 Python 中，可以使用 NumPy 库来进行矩阵操作。下面是一个示例代码：
import numpy as np
# 定义旋转矩阵 R 和平移向量 t
R = np.array([[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]]) # 假设为单位矩阵
t = np.array([0, 0, 0]) # 假设为零向量
# 定义转换后的点云 P'
P_prime = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
# 计算旋转矩阵的逆
R_inv = np.linalg.inv(R)
# 计算原始点云 P
P = np.dot(R_inv, (P_prime - t).T).T
# 或者
# P = np.dot((P_prime - t), R_inv)
# 打印原始点云 P
print(P)
这个示例代码中，旋转矩阵 R 被定义为单位矩阵，平移向量 t 被定义为零向量。转换后的点云 P’ 被定义为一个 3x3 的矩阵。
可以根据实际情况修改旋转矩阵 R、平移向量 t 和转换后的点云 P’ 来计算对应的原始点云 P。
示例 3
要根据旋转平移矩阵和转换后的点云，求得原始点云，可以使用以下步骤：
-
首先，计算旋转平移矩阵的逆矩阵。假设旋转平移矩阵为R，平移向量为T，则逆矩阵为R_inv。
-
然后，对于转换后点云的每个点P’，将其转换为齐次坐标形式，即将其表示为一个3维向量[P’x, P’y, P’z, 1]。
-
接下来，利用逆矩阵R_inv将齐次坐标形式的点P’转换为原始点P，即P = R_inv * P’。
-
最后，将原始点P去除齐次坐标形式，即将其表示为一个3维向量[Px, Py, Pz]。
以下是一个示例代码：
import numpy as np
# 转换后的点云，shape为(4, 3)
transformed_points = np.array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9],
[10, 11, 12]])
# 旋转平移矩阵，shape为(3, 3)
rotation_matrix = np.array([[0.866, -0.5, 0],
[0.5, 0.866, 0],
[0, 0, 1]])
# 平移向量，shape为(3, 1)
translation_vector = np.array([[1],
[2],
[3]])
# 计算逆矩阵
rotation_matrix_inv = np.linalg.inv(rotation_matrix)
# 转换后点云的齐次坐标形式
homogeneous_transformed_points = np.hstack((transformed_points, np.ones((4, 1))))
# 原始点云
original_points = np.dot(rotation_matrix_inv, homogeneous_transformed_points.T)
original_points = original_points.T - np.dot(rotation_matrix_inv, translation_vector)
# 去除齐次坐标形式
original_points = original_points[:, :3]
print(original_points)
这样，原始点云就被计算出来了。注意，这里使用的是3x3的旋转平移矩阵，如果你的矩阵不是这个形式，需要适当修改代码。
示例 4
要根据旋转平移矩阵及转换后的点云来求得原始点云，需要使用逆变换操作。
首先，我们假设旋转平移矩阵为R，平移向量为t，转换后的点云为P_transformed，原始点云为P_original。
逆变换操作可以用以下公式表示：
P_original = R_inv * (P_transformed - t)
其中，R_inv表示矩阵R的逆矩阵。
以下是使用Python代码实现这个操作的示例：
import numpy as np
# 定义旋转平移矩阵R和平移向量t
R = np.array([[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])
t = np.array([[1],
[2],
[3]])
# 定义转换后的点云P_transformed
P_transformed = np.array([[2, 3, 4],
[5, 6, 7],
[8, 9, 10],
[11, 12, 13]])
# 计算矩阵R的逆矩阵R_inv
R_inv = np.linalg.inv(R)
# 进行逆变换操作，求得原始点云P_original
P_original = np.dot(R_inv, P_transformed.T - t).T
# 打印结果
print(P_original)
这样，就可以根据旋转平移矩阵及转换后的点云求得原始点云。
