模拟退火（Simulated Annealing, SA）是一种概率性搜索技术，用于寻找给定函数的全局最优解。该算法受到物理学中固体退火过程的启发，通过模拟物质冷却过程中粒子的随机运动，来逐步寻找优化解。它允许在搜索过程中偶尔接受比当前解差的解，以此避免陷入局部最优解，增加找到全局最优解的机会。下面，我们将通过一些具体的案例来展示如何在MATLAB中实现模拟退火算法。
案例分析：旅行商问题（TSP）
旅行商问题描述了一个旅行商必须访问一组城市并返回出发点，目标是找到总旅程最短的完整路径。
步骤 1: 定义城市和距离
首先，我们定义一组城市的坐标，然后计算城市间的距离矩阵。
% 定义城市坐标
cities = [60, 200; 180, 200; 80, 180; 140, 180; 20, 160; 100, 160;
200, 160; 140, 140; 40, 120; 100, 120; 180, 100; 60, 80; 120, 80; 180, 60; 20, 40; 100, 40; 200, 40; 20, 20; 60, 20; 160, 20];
% 计算距离矩阵
numCities = size(cities, 1);
distances = zeros(numCities, numCities);
for i = 1:numCities
for j = 1:numCities
distances(i, j) = sqrt(sum((cities(i, :) - cities(j, :)).^2));
end
end
步骤 2: 定义模拟退火参数和初始化
设置初始温度、冷却率、最小温度和初始路径。
% 初始化参数
T = 1000; % 初始温度
T_min = 1; % 最小温度
alpha = 0.95; % 冷却率
currentPath = randperm(numCities); % 初始随机路径
% 计算初始路径长度
currentLength = sum(distances(sub2ind(size(distances), currentPath, [currentPath(2:end) currentPath(1)])));
步骤 3: 模拟退火主循环
迭代地更新路径，逐渐降低温度，接受或拒绝新路径。
while T > T_min
for i = 1:100 % 每个温度下的迭代次数
% 生成新的解决方案
newpath = currentPath;
swapIdx = randperm(numCities, 2);
newpath([swapIdx(1) swapIdx(2)]) = newpath([swapIdx(2) swapIdx(1)]); % 交换两个城市的位置
% 计算新路径长度
newLength = sum(distances(sub2ind(size(distances), newpath, [newpath(2:end) newpath(1)])));
% 决定是否接受新路径
if newLength < currentLength || exp((currentLength - newLength) / T) > rand()
currentPath = newpath;
currentLength = newLength;
end
end
% 降低温度
T = T * alpha;
end
步骤 4: 输出结果
展示最终的最短路径和路径长度。
disp(['Optimized path length: ', num2str(currentLength)]);
disp('Path:');
disp(currentPath);
案例分析：结构设计优化
假设一个工程团队需要设计一种新的机械结构，该结构需要最小化重量和材料成本，同时必须承受预定的最大负荷。模拟退火算法可以用来优化设计参数，以满足这些复杂的约束和目标。
步骤 1: 定义设计变量和目标函数
首先定义设计变量，例如结构的尺寸、形状、材料类型等，然后创建一个函数来评估给定设计的成本和性能。
function cost = designCost(parameters)
% 假设参数包括材料厚度、长度和类型
thickness = parameters(1);
length = parameters(2);
materialCostPerUnit = parameters(3); % 材料成本因子
% 计算结构重量（假设简化模型）
weight = thickness * length * 7.85; % 假设密度为7.85 g/cm^3
performance = thickness * length; % 性能的简化评估
% 性能需求
requiredPerformance = 1000; % 必须达到的性能标准
if performance < requiredPerformance
cost = inf; % 如果不满足性能要求，则成本为无穷大
else
cost = weight * materialCostPerUnit; % 成本是重量和材料成本的乘积
end
end
步骤 2: 初始化设计变量
选择初始设计变量，并设置相应的设计变量范围。
initialDesign = [2, 50, 10]; % 初始设计参数
bounds = [1, 5; 30, 100; 5, 15]; % 设计参数的边界
步骤 3: 模拟退火过程
设置模拟退火的参数，例如初始温度、冷却率和最小温度，并开始优化过程。
% 初始化参数
T = 1000; % 初始温度
T_min = 1; % 最小温度
alpha = 0.9; % 冷却率
currentDesign = initialDesign;
currentCost = designCost(currentDesign);
% 模拟退火迭代
while T > T_min
for i = 1:100
% 随机扰动设计参数
newDesign = currentDesign + (rand(1, 3) - 0.5) .* (bounds(:, 2) - bounds(:, 1))' * 0.1;
newDesign = max(min(newDesign, bounds(:, 2)'), bounds(:, 1)'); % 保持设计参数在边界内
newCost = designCost(newDesign);
% 接受新的设计
if newCost < currentCost || exp((currentCost - newCost) / T) > rand()
currentDesign = newDesign;
currentCost = newCost;
end
end
% 降低温度
T = T * alpha;
end
步骤 4: 输出结果
展示优化后的设计参数和计算的最小成本。
disp(['Optimized design parameters: ', num2str(currentDesign)]);
disp(['Minimum cost: ', num2str(currentCost)]);
案例分析：投资组合优化
投资组合优化是一种常见的金融工程问题，其中投资者需要在风险和回报之间做出权衡。模拟退火算法可以用来寻找最优的资产分配，以实现最大的风险调整后回报。
步骤 1: 定义资产和模型参数
首先定义一组投资资产及其预期回报和风险。
% 资产名称、预期回报率和风险（标准差）
assets = {'Asset 1', 'Asset 2', 'Asset 3', 'Asset 4'};
returns = [0.12, 0.10, 0.15, 0.09]; % 预期回报
risks = [0.10, 0.06, 0.12, 0.05]; % 风险
correlations = [
1.0, 0.8, 0.5, 0.3;
0.8, 1.0, 0.7, 0.4;
0.5, 0.7, 1.0, 0.9;
0.3, 0.4, 0.9, 1.0
]; % 资产间相关性
% 计算协方差矩阵
covariances = corr2cov(risks, correlations);
步骤 2: 定义目标函数
创建一个函数来评估给定投资组合的风险和回报。
function [returnRiskRatio, portfolioReturn, portfolioRisk] = portfolioPerformance(weights, returns, covariances)
portfolioReturn = sum(weights .* returns);
portfolioRisk = sqrt(weights * covariances * weights');
returnRiskRatio = -portfolioReturn / portfolioRisk; % 负号是因为我们希望最大化该比率
end
步骤 3: 初始化模拟退火参数和投资组合
设置模拟退火的初始参数，并随机初始化投资组合权重。
T = 1000; % 初始温度
T_min = 1; % 最小温度
alpha = 0.95; % 冷却率
numAssets = numel(returns);
currentWeights = rand(1, numAssets);
currentWeights = currentWeights / sum(currentWeights); % 归一化
步骤 4: 模拟退火过程
迭代更新投资组合，逐渐降低温度，接受或拒绝新的投资组合配置。
while T > T_min
for i = 1:100 % 每个温度下的迭代次数
% 随机扰动投资组合权重
newWeights = currentWeights + (rand(1, numAssets) - 0.5) * 0.1;
newWeights = max(newWeights, 0);
newWeights = newWeights / sum(newWeights); % 保持权重归一化
% 计算性能
[newReturnRiskRatio, newReturn, newRisk] = portfolioPerformance(newWeights, returns, covariances);
[currentReturnRiskRatio, currentReturn, currentRisk] = portfolioPerformance(currentWeights, returns, covariances);
% 决定是否接受新的投资组合
if newReturnRiskRatio < currentReturnRiskRatio || exp((currentReturnRiskRatio - newReturnRiskRatio) / T) > rand()
currentWeights = newWeights;
end
end
% 降低温度
T = T * alpha;
end
步骤 5: 输出结果
展示最优投资组合的配置、预期收益、和风险。
disp('Optimized portfolio weights:');
disp(currentWeights);
disp(['Expected portfolio return: ', num2str(currentReturn)]);
disp(['Portfolio risk (std dev): ', num2str(currentRisk)]);
结论
（1）通过旅行商问题的模拟退火算法示例，我们可以看到算法如何在全局搜索空间中有效地找到近似最优解。模拟退火算法适用于各种优化问题，特别是在解空间大且复杂的问题中表现突出。它通过允许在一定条件下接受差的解来避免陷入局部最优，从而增加找到全局最优解的概率。
（2）通过结构设计优化的案例，我们看到了模拟退火算法如何在工程设计中应用，以找到满足性能标准的最低成本解决方案。该算法的全局搜索能力使其成为解决具有复杂约束和多个设计变量的优化问题的理想选择。模拟退火在工程、科学研究以及商业应用中提供了一种强大而灵活的方法，用于在广泛的潜在解决方案中寻找最优解。
（3）展示了如何使用模拟退火算法来解决投资组合优化问题。通过智能地调整资产权重并利用退火策略避免局部最优解，模拟退火算法能够有效地平衡投资回报和风险。这种方法特别适合于处理具有多个局部最优解的复杂金融优化问题，为金融分析师和投资经理提供了一种强大的工具，以发现最佳投资策略。
