$Bellman—Ford$是一种单源最短路径算法，可以用于边权为负的图，但是只能用于小图。

大概过程：

1. 枚举每一条边，更新可以更新的节点（起点到自己距离为$0$，从地点开始向外）。
2. 重复第一个步骤$n-1$次（起点不用），每一轮至少有一个节点会被更新出最短路径（和$Dijkstra$中用到的贪心思想有点像）。

Dijkstra传送门

算法复杂度：很明显需要$n-1$个点都需要枚举一次，每次都需要枚举$m$条边，复杂度为$O(nm)$。

同时这个算法还可以判断是否存在负环。只要更新完$n-1$次后，还有点可以被更新最短路，那就是存在负环的，因为只有负环是每走一圈路径长度都会往下减，就可以无限更新，而正常图我们只要枚举$n-1$遍。

也可以记录每个节点最短路的路径。（前面发过的最短路算法应该也有，可以参考$Bellma{n}_{F}ord$的处理办法）

同样的，通过例题理解代码。

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【模板】Bellman-Ford算法-StarryCoding | 踏出编程第一步

题目描述

$n$点$m$边的带负权有向图（连通，可能存在重边与自环），求$1$到所有点的单源最短路的距离。

保证结点$1$可以到达所有结点。

如果图中存在负环，则只输出一个整数$-1$。

输入描述

第一行两个整数$n,m。(2\le n,m\le 1\times 10^4)$

接下来$m$行，每行一条单向边$x,y,z$表示存在一条从$x$到$y$的距离为$z$的通道。$(1\le x,y\le n,-10^9\le z\le 10^9)$

输出描述

一行$n$个整数，第$i$个整数表示从点$1$到点$n$的最短距离。

如果图中存在负环，则只输出一个整数$-1$。

输入样例1

5 5
1 2 1
2 3 -2
3 4 1
4 5 6
1 5 -5

输出样例1

0 1 -1 0 -5

解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9;
using ll = long long;
const ll inf = 2e18;

struct Edge
{
    int x;
    ll w;
};

int n, m;
vector<Edge> g[N];
ll d[N];
//记录前驱节点，用于打印路径。
// int pre[N];

void print(int s, int t)        //打印路径用的
{
    if(s == t)
    {
        cout << s << ' ';
        return;
    }

    print(s, pre[t])
    cout << t << ' ';
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int u, v;
        ll w; cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back({v, w});
    }

    //d[i]表示从起点到点i的距离。
    for(int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = inf;
    d[1] = 0;

    bool circle;    //判断负环，最后一次出来之后还是true就是一直在更新，有负环
    for(int i = 1; i <= n; ++i) //枚举n遍
    {
        circle = false;
        for(int x = 1; x <= n; ++x)     //枚举每天边
        {
            for(auto [y, w] : g[x])
            {
                if(d[x] + w < d[y])     //如果能更新
                {
                    d[y] = d[x] + w;
                    // pre[x] = y;  如有需要，记录路径
                    circle = true;
                }
            }
        }
    }

    if(circle) cout << "-1" << '\n';
    else
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << d[i] << ' ';
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int _ = 1;
    while(_--) solve();
    return 0;
}

易错提醒：还是别忘记初始化，别忘记初始化，别忘记初始化。

$PS$:这个代码过不了这个例题，数据范围略大，需要优化成$spfa$算法。