高等数学笔记(下中)

曲线积分

第一类曲线积分:对弧长的积分计算方法
定理:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在曲线弧 L L L上有定义且连续, L L L的参数方程是
{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) \begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}(\alpha\le t\le\beta) {x=φ(t)y=ψ(t)(αtβ)
φ ( t ) , ψ ( t ) \varphi(t),\psi(t) φ(t),ψ(t) [ α , β ] [\alpha, \beta] [α,β]上具有连续的一阶偏导数,且 φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)\ne0 φ′2(t)+ψ′2(t)=0,则曲线积分 ∫ L f ( x , y ) d s \int_Lf(x,y)ds Lf(x,y)ds存在,且
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t ( α ≤ β ) \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt(\alpha\le \beta) Lf(x,y)ds=αβf(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t) dt(αβ)
参数方程的一个特例是
{ x = x y = y ( x ) ( α ≤ x ≤ β ) \begin{cases} x=x\\ y=y(x) \end{cases}(\alpha\le x\le\beta) {x=xy=y(x)(αxβ)
第二类曲线积分:沿坐标轴进行积分
考虑一个变力做功的场景:变力为 F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j \bold F(x,y)=P(x,y)\bold i+Q(x,y)\bold j F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,沿着曲线做功
∫ L F ( x , y ) d r = ∫ L P ( x , y ) d x + ∫ L Q ( x , y ) d y \int_L\bold F(x,y)d\bold r=\int_LP(x,y)dx+\int_LQ(x,y)dy LF(x,y)dr=LP(x,y)dx+LQ(x,y)dy其中 F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j , d r = d x i + d y j \bold F(x,y)=P(x,y)\bold i+Q(x,y)\bold j, d\bold r=dx\bold i+dy\bold j F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,dr=dxi+dyj

两类曲线积分的关系
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L P ( x , y ) cos ⁡ α + Q ( x , y ) cos ⁡ β d s \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LP(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta ds LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=LP(x,y)cosα+Q(x,y)cosβds其中 α , β \alpha, \beta α,β是有向曲线在 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的方向角(和坐标轴的夹角)。

推导
假设 x , y x,y x,y满足参数方程
{ x ( t ) = φ ( t ) y ( t ) = ψ ( t ) \begin{aligned} \begin{cases} x(t)&=\varphi(t)\\ y(t)&=\psi(t) \end{cases} \end{aligned} {x(t)y(t)=φ(t)=ψ(t)
对于第二类曲线积分
I = ∫ P ( x , y ) d x + ∫ Q ( x , y ) d y = ∫ a b P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t + ∫ a b Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) d t \begin{aligned} I&=\int P(x,y)dx+\int Q(x,y)dy\\ &=\int_a^b P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)dt+\int_a^b Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)dt \end{aligned} I=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=abP(φ(t),ψ(t))φ(t)dt+abQ(φ(t),ψ(t))ψ(t)dt
考虑曲线在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的切线方向向量
τ = φ ′ ( t ) i + ψ ′ ( t ) j \bold\tau=\varphi'(t)\bold i+\psi'(t)\bold j τ=φ(t)i+ψ(t)j
则其两个方向角
cos ⁡ α = φ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 cos ⁡ β = ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2   \cos\alpha = \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}}\\ \cos\beta = \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}}\ cosα=φ(t)2+ψ(t)2 φ(t)cosβ=φ(t)2+ψ(t)2 ψ(t) 

考虑下面函数的第一类曲线积分
I ′ = ∫ P ( x , y ) cos ⁡ α + Q ( x , y ) cos ⁡ β d s = ∫ P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 + ∫ Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 d s = ∫ ( P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 + ∫ Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 ) φ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 d t = ∫ P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) + ∫ Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) d t = I \begin{aligned} I' &= \int P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta ds\\ &=\int P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} +\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} ds\\ &=\int \left (P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} +\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \right)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}dt\\ &=\int P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi'(t)+\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi'(t)dt\\ &=I \end{aligned} I=P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβds=P(φ(t),ψ(t))φ(t)2+ψ(t)2 φ(t)+Q(φ(t),ψ(t))φ(t)2+ψ(t)2 ψ(t)ds=(P(φ(t),ψ(t))φ(t)2+ψ(t)2 φ(t)+Q(φ(t),ψ(t))φ(t)2+ψ(t)2 ψ(t))φ(t)2+ψ(t)2 dt=P(φ(t),ψ(t))φ(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ(t)dt=I

理解
怎么直观理解呢?让我们会到变力做功问题。按照定义,适合计算的场景是第二类曲线积分。但是实际上也可以使用第一类曲线积分来进行计算。也就是计算曲线上每一点做功的量。 x x x方向上每一点移动微小距离从 A A A B B B做功的量
W x = P ( x , y ) i → ⋅ τ → = P ( x , y ) τ cos ⁡ α = P ( x , y ) cos ⁡ α   τ = P ( x , y ) cos ⁡ α   d s \begin{aligned} W_x&=P(x,y)\overrightarrow{\bold i}\cdot\overrightarrow{\bold{\tau}}\\ &=P(x,y)\tau\cos{\alpha}\\ &=P(x,y)\cos{\alpha}\ \tau\\ &=P(x,y)\cos{\alpha}\ ds \end{aligned} Wx=P(x,y)i τ =P(x,y)τcosα=P(x,y)cosα τ=P(x,y)cosα ds
可以将此处的功看做 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)在此处的线密度, Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)类似。其中 τ → \overrightarrow{\bold\tau} τ 是指向从 A A A指向 B B B的向量,当 A A A B B B距离很近时,也就是其切向量。第一类和第二类曲线积分关系理解的一个问题是, P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)已经是 x x x轴分量了,为什么还需要乘 c o s α cos\alpha cosα,这是因为为了计算其做功,需要使用其在路径方向上的分量来计算。就好比,为了计算做功,首先对力进行 x y xy xy方向的正交分解,但是因为移动的方向和坐标轴也不垂直或平行,需要分别对两个分量在路径方向的分量上再次分解。另外一种理解方式是,这个 cos ⁡ α \cos\alpha cosα不是乘在 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)上,而是乘在 d s ds ds上,这种理解就是将路径也作了正交分解,然后和对应分量进行求积。
举个例子,计算恒力 F ( x , y ) = − i + j F(x,y)=-\bold i+\bold j F(x,y)=i+j沿圆周 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)做的功。根据根据高中知识(同时格林公式加以验证),恒力做功和路径无关,做的功为 W = F s = 2 ⋅ 2 = 2 J W=Fs=\sqrt 2\cdot\sqrt 2=2J W=Fs=2 2 =2J
使用第二类曲线积分
W = ∫ L F → d r → = ∫ 1 0 P ( x , y ) d x + ∫ 0 1 Q ( x , y ) d y = 2 \begin{aligned} W &=\int_L\overrightarrow{\bold F}d\overrightarrow{\bold r} \\ &=\int_{1}^{0}P(x,y)dx+\int_{0}^{1}Q(x,y)dy\\ &=2 \end{aligned} W=LF dr =10P(x,y)dx+01Q(x,y)dy=2
使用第一类曲线积分,在任意一点 ( x , y ) (x,y) (x,y)
d W = F → d r → = ∣ F → ∣ ∣ d r → ∣ cos ⁡ α ( α 是 F → ( − 1 , 1 ) 和曲线切线 ( 1 , − x 1 − x 2 ) 的夹角,不是方向角 ) = ∣ F → ∣ cos ⁡ α d s = 2 ⋅ − x + 1 − x 2 1 ⋅ 2 d s = 2 ⋅ − x + 1 − x 2 1 ⋅ 2 1 + y ′ 2 d x \begin{aligned} dW&=\overrightarrow{\bold F}d\overrightarrow{\bold r} \\ &=|\overrightarrow{\bold F}||d\overrightarrow{\bold r} |\cos\alpha(\alpha是\overrightarrow{\bold F}(-1,1)和曲线切线(1,\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}})的夹角,不是方向角)\\ &=|\overrightarrow{\bold F}|\cos\alpha ds \\ &=\sqrt 2\cdot \frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{1\cdot\sqrt 2}ds\\ &=\sqrt 2\cdot \frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{1\cdot\sqrt 2}\sqrt{1+y'^2}dx \end{aligned} dW=F dr =F ∣∣dr cosα(αF (1,1)和曲线切线(1,1x2 x)的夹角,不是方向角)=F cosαds=2 12 x+1x2 ds=2 12 x+1x2 1+y′2 dx
以上的计算还是比较复杂一点的,是直接计算,没有对F进行两次正交分解。
考虑 F → \overrightarrow{\bold F} F x x x分量做功
d W x = ∫ P ( x , y ) i d r = ∫ P ( x , y ) ∣ d r → ∣ cos ⁡ α ( α 是 x 轴方向角 ) = ∫ 1 − x 2 d s = ∫ 1 − x 2 ⋅ 1 1 − x 2 d x = 1 \begin{aligned} dW_x&=\int P(x,y)\bold id\bold r\\ &=\int P(x,y)|d\overrightarrow{\bold r} |\cos\alpha(\alpha是x轴方向角)\\ &=\int \sqrt{1-x^2}ds\\ &=\int \sqrt{1-x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=1 \end{aligned} dWx=P(x,y)idr=P(x,y)dr cosα(αx轴方向角)=1x2 ds=1x2 1x2 1dx=1

格林公式(非常重要)
设闭区域 D D D由分段光滑曲线 L L L围成,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y) D D D上有连续一阶偏导数,则有
∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_LPdx+Qdy D(xQyP)dxdy=LPdx+Qdy
其中 L L L是区域 D D D边界上取正向的曲线。

在这里插入图片描述
证明:首先假设区域 D D D既是X型,又是Y型的,则
∬ D ∂ P ∂ y d x d y = ∫ a b ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) ∂ P ∂ y d y d x = ∫ a b ( P ( x , φ 2 ( x ) ) − P ( x , φ 1 ( x ) ) ) d x \begin{aligned} &\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ =&\int_a^b\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dydx\\ =&\int_a^b\left (P(x,\varphi_2(x))-P(x,\varphi_1(x))\right)dx \end{aligned} ==DyPdxdyabφ1(x)φ2(x)yPdydxab(P(x,φ2(x))P(x,φ1(x)))dx
另一方面
∮ L P d x = ∫ B C P d x + ∫ C F G P d x + ∫ G A P d x + ∫ A E B P d x = 0 + ∫ b a P ( x , φ 2 ( x ) ) d x + 0 + ∫ a b P ( x , φ 1 ( x ) ) d x = ∫ a b ( − P ( x , φ 2 ( x ) ) + P ( x , φ 1 ( x ) ) ) d x = − ∬ D ∂ P ∂ y d x d y \begin{aligned} &\oint_LPdx\\ =&\int_{BC}Pdx+\int_{CFG}Pdx+\int_{GA}Pdx+\int_{AEB}Pdx\\ =&0+\int_b^aP(x,\varphi_2(x))dx+0+\int_a^bP(x,\varphi_1(x))dx\\ =&\int_a^b\left (-P(x,\varphi_2(x))+P(x,\varphi_1(x))\right)dx\\ =&-\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \end{aligned} ====LPdxBCPdx+CFGPdx+GAPdx+AEBPdx0+baP(x,φ2(x))dx+0+abP(x,φ1(x))dxab(P(x,φ2(x))+P(x,φ1(x)))dxDyPdxdy
同理,因为区域 D D D也是Y型的,可得
∮ L Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x d x d y \oint_L Qdy = \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy LQdy=DxQdxdy

若区域不是X型或者Y型,则可以通过将其切割的方式,得到若干既是X型,又是Y型的区域。在切割线上,二重积分为0,曲线积分方向相反恰好相互抵消。

格林公式还是很神奇的,意思是,一个闭区域的二重积分可以只通过边界就确定,和内部情况无关。乍一看很难理解,怎么可能呢?但是仔细一想,二重积分的被积函数是 Q Q Q的偏导数。可以这么理解,偏导数在一个闭区域里无论怎样变化,你多了一重积分,都不重要了,只和闭区域边界上变化量有关,而这个变化量是可以通过边界上看到的。也就是二重积分关心的是细节,但是累积之后其实只和进入和流出边界的变化量有关,边界值是一个最终结果,可以确定变化量。实际格林公式的证明过程也是这么个道理。高斯公式类似。

曲线积分和路径无关的条件
设区域 G G G是一个单连通区域,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y) G G G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分 ∫ = P d x + Q d y \int=Pdx+Qdy =Pdx+Qdy G G G内与路径无关的充要条件是
∂ Q ∂ x = ∂ P ∂ y \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} xQ=yP G G G内恒成立。

曲面积分

第一类曲面积分
定义:设曲面 Σ \Sigma Σ是光滑的,函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) Σ \Sigma Σ上有界. 把 Σ \Sigma Σ任意分成 n n n个小块 Δ S i \Delta S_i ΔSi( Δ S i \Delta S_i ΔSi同时也表示第 i i i个小块的面积),设 f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i ( i = 1 , 2 , 3... n ) f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i(i=1,2,3...n) f(ξi,ηi,ζi)ΔSi(i=1,2,3...n),并作和 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi,如果当各个小块曲面的直径最大值 λ → 0 \lambda\to0 λ0时,这个和的极限总存在,且与曲面 Σ \Sigma Σ的分法及点 ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i,\eta_i,\zeta_i) (ξi,ηi,ζi)的取法无关,那么称此极限为函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在曲面 Σ \Sigma Σ上对面积的曲面积分或者第一类曲面积分,记作 ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS Σf(x,y,z)dS,即
∬ Σ f ( x , y , z ) d S = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i Σf(x,y,z)dS=λ0limi=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi
其中, f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)叫做被积函数, Σ \Sigma Σ叫做积分曲面。
第一类曲面积分计算方法
在这里插入图片描述
∬ Σ f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f ( x , y , z ) z x 2 + z y 2 + 1 d x d y \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy Σf(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z)zx2+zy2+1 dxdy
严格证明可能需要使用积分中值定理。这里只做一个说明:
Δ S i ⋅ cos ⁡ γ = Δ σ i \Delta S_i\cdot\cos\gamma=\Delta\sigma_i ΔSicosγ=Δσi, γ \gamma γ z z z轴方向角,有
cos ⁡ γ = k ⋅ n ∣ k ∣ ∣ n ∣ = − 1 z x 2 + z y 2 + 1 \cos\gamma=\frac{\bold k\cdot\bold n}{|\bold k||\bold n|}=\frac{-1}{\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}} cosγ=k∣∣nkn=zx2+zy2+1 1
∬ Σ f ( x , y , z ) d S = ∬ D x y f ( x , y , z ) 1 cos ⁡ γ d x d y = ∬ D x y f ( x , y , z ) z x 2 + z y 2 + 1 d x d y \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS\\ =\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\frac{1}{\cos\gamma}dxdy\\ =\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy Σf(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z)cosγ1dxdy=Dxyf(x,y,z)zx2+zy2+1 dxdy
第二类曲面积分

高斯公式
定理 设空间闭区域 Ω \Omega Ω是有分段光滑的闭曲面 Σ \Sigma Σ围成,若函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) Ω \Omega Ω上具有连续的一阶偏导数,则有
∭ Ω ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = ∯ Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y \iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\oiint\limits_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy ΩxP+yQ+zR=Σ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy
∭ Ω ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = ∯ Σ P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ d S \iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\oiint\limits_\Sigma P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS ΩxP+yQ+zR=Σ Pcosα+Qcosβ+RcosγdS
这里, Σ \Sigma Σ Ω \Omega Ω整个边界曲面的外侧, cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ Σ \Sigma Σ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的法向量方向余弦。
沿任意闭曲面积分为0的条件

斯托克斯公式
定理1 设 Γ \Gamma Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, Σ \Sigma Σ是以 Γ \Gamma Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ \Gamma Γ的正向与 Σ \Sigma Σ的侧符合右手规则,若函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在曲面 Σ \Sigma Σ(连通边界 Γ \Gamma Γ)上具有一阶连续偏导数,则有
∬ Σ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z − ( ∂ R ∂ x − ∂ P ∂ z ) d y d z + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d y d z = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \iint\limits_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz -(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})dydz +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dydz\\ =\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz Σ(yRzQ)dydz(xRzP)dydz+(xQyP)dydz=ΓPdx+Qdy+Rdz
表述成行列式形式
∬ Σ ∣ d y d z        d z d x d x d y ∂ ∂ x        ∂ ∂ y ∂ ∂ z P        Q R ∣ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \iint\limits_\Sigma\left| \begin{aligned} dydz &\ \ \ \ \ \ dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} &\ \ \ \ \ \ \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P &\ \ \ \ \ \ Q &R \\ \end{aligned} \right|=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz Σ dydzxP      dzdx      y      QdxdyzR =ΓPdx+Qdy+Rdz
课本上给了一种证明,本身可以做点简化,另外就是只是通过公式化的推导,并没有对斯托克斯公式本身的含义做很好的解释,这里做些改进。
证明:先假设 Σ \Sigma Σ与平行于 z z z轴的直线相交不多于一点,并设 Σ \Sigma Σ为曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的上侧, Σ \Sigma Σ的正向边界曲线 Γ \Gamma Γ x O y xOy xOy面上的投影为平面有向曲线 C C C C C C锁围成的闭区域为 D x y D_{xy} Dxy
在这里插入图片描述
我们设法把曲面积分 ∬ Σ ∂ P ∂ z d z d x − ∂ P ∂ y d x d y \iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy ΣzPdzdxyPdxdy化为闭区域 D x y D_{xy} Dxy上的二重积分,然后通过格林公式使它与曲线积分相联系。
∬ Σ ∂ P ∂ z d z d x − ∂ P ∂ y d x d y = ∬ Σ ∂ P ∂ z d z d y d y d x − ∂ P ∂ y d x d y = ∬ Σ ∂ P ∂ z z y d x d y − ∂ P ∂ y d x d y \iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \\ =\iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}\frac{dz}{dy}dydx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ =\iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}z_ydxdy-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy ΣzPdzdxyPdxdy=ΣzPdydzdydxyPdxdy=ΣzPzydxdyyPdxdy

另外的方法:
我们把曲面 Σ \Sigma Σ使用平面组 x = a i , y = b i x=a_i,y=b_i x=ai,y=bi切割成一块一块,对于其中的一块由平面 x = a 1 , x = a 2 , y = b 1 , y = b 2 x=a_1, x=a_2, y=b_1,y=b_2 x=a1,x=a2,y=b1,y=b2和曲面的交点为 A ( a 1 , b 1 , z A ) , B ( a 2 , b 1 , z B ) , C ( a 2 , b 2 , z C ) , D ( a 1 , b 2 , z D ) A(a_1,b_1,z_A),B(a_2,b_1,z_B),C(a_2,b_2,z_C),D(a_1,b_2,z_D) A(a1,b1,zA),B(a2,b1,zB),C(a2,b2,zC),D(a1,b2,zD),来求曲线积分
∮ Γ R d z = ∫ A B + ∫ B C + ∫ C D + ∫ D A R d z \oint_\Gamma Rdz=\int_{AB}+\int_{BC}+\int_{CD}+\int_{DA} Rdz ΓRdz=AB+BC+CD+DARdz
由格林公式
∬ D y z ∂ R ∂ y d y d z = ∫ A B + ∫ C D R d z − ∬ D y z ∂ R ∂ x d x d z = ∫ B C + ∫ D A R d z \iint\limits_{D_{yz}}\frac{\partial R}{\partial y}dydz =\int_{AB}+\int_{CD} Rdz\\ -\iint\limits_{D_{yz}}\frac{\partial R}{\partial x}dxdz =\int_{BC}+\int_{DA} Rdz DyzyRdydz=AB+CDRdzDyzxRdxdz=BC+DARdz
也就是说, R R R沿曲线 Γ \Gamma Γ的线积分,可以拆成两部分,一部分是是x轴方向的积分,另一部分是y轴方向的积分。
梯度、散度、旋度在向量分析中会有更详细的研究和笔记。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mfbz.cn/a/599876.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系我们进行投诉反馈qq邮箱809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Python实现打砖块游戏

提供学习或者毕业设计使用,功能基本都有,不能和市场上正式游戏相提比论,请理性对待! 在本文中,我们将使用 Pygame 和 Tkinter 创建一个简单的打砖块游戏。游戏的目标是通过控制挡板来击碎屏幕上的砖块,同时…

PTQ4SAM、Mamba-Attention、AniTalker、IceFormer、U-DiTs、CogDPM

本文首发于公众号:机器感知 PTQ4SAM、Mamba-Attention、AniTalker、IceFormer、U-DiTs、CogDPM PTQ4SAM: Post-Training Quantization for Segment Anything Segment Anything Model (SAM) has achieved impressive performance in many computer vision tasks. Ho…

华为机考入门python3--(23)牛客23- 删除字符串中出现次数最少的字符

分类:字符串 知识点: 访问字典中keychar的值,不存在则返回0 my_dict.get(char, 0) 字典的所有值 my_dict.value() 列表中的最小值 min(my_list) 题目来自【牛客】 import sysdef delete_min_freq_char(s):# 计算字母出现的频次…

套管外径测量仪 多尺寸型号 规格全可定制

套管(bushing)是一种将带电导体引入电气设备或穿过墙壁的一种绝缘装置。前者称为电器套管,后者称为穿墙套管。套管通常用在建筑地下室,是用来保护管道或者方便管道安装的铁圈。套管的分类有刚性套管、柔性防水套管、钢管套管及铁皮…

鸿蒙OpenHarmony实战开发-MiniCanvas

介绍 基于OpenHarmony的Cavas组件封装了一版极简操作的MiniCanvas,屏蔽了原有Canvas内部复杂的调用流程,支持一个API就可以实现相应的绘制能力,该库还在继续完善中,也欢迎PR。 使用说明 1.添加MiniCanvas依赖 在项目entry目录…

07 - 步骤 javaScript代码

简介 JavaScript 代码是通过 JavaScript 脚本步骤来执行 JavaScript 脚本的一种方式。这允许用户在 Kettle 的数据流程中使用 JavaScript 编写自定义的脚本逻辑,用于数据处理、转换、计算等操作。 使用 场景 我需要在数据流加一个字段 createTime 当前时间&…

【嵌入式DIY实例】-基于GSM的远程灌溉系统

基于GSM的远程灌溉系统 文章目录 基于GSM的远程灌溉系统1、硬件准备与接线2、软件准备3、代码实现本文将详细介绍如何搭建通过使用手机实现对灌溉系统的远程控制。该系统利用全球移动通信系统(GSM)技术在灌溉系统和移动电话之间建立通信。该系统建立在流行的开源微控制器平台…

Linux 进程间通信之共享内存

💓博主CSDN主页:麻辣韭菜💓   ⏩专栏分类:Linux知识分享⏪   🚚代码仓库:Linux代码练习🚚   🌹关注我🫵带你学习更多Linux知识   🔝 ​ 目录 ​编辑​ 前言 共享内存直接原理…

使用双指针解决问题题集(二)

1. 有效三角形的个数 给定一个包含非负整数的数组 nums ,返回其中可以组成三角形三条边的三元组个数。 示例 1: 输入: nums [2,2,3,4] 输出: 3 解释:有效的组合是: 2,3,4 (使用第一个 2) 2,3,4 (使用第二个 2) 2,2,3 示例 2: 输入: nums [4,2,3,4] 输出: 4 题解&a…

zabbix监控方式(zabbix-trapper)

中文:zabbix采集器,即zabbix sender 。 Zabbix-Trapper 监控方式可以一次批量发送数据给Zabbix Server,与主动模式不同,Zabbix-Trapper 可以让用户控制数据的发送,而不用Zabbix-Agent进程控制,这意味着可以…

Angular中的管道(Pipe)

Angular中的管道(Pipe) 文章目录 Angular中的管道(Pipe)前言一、内置管道1. date管道格式化日期2. currency管道格式化货币3. uppercase和lowercase管道转换字符串大小写4. 小数位数5. JavaScript 对象序列化6. slice7. 管道链 二、自定义管道 前言 Angular中的管道&#xff0…

力扣刷题--数组--第二天

今天仍然做二分查找相关的题目。先来回顾一下二分查找的方法和使用的条件。二分查找是在数组中查找目标值的一种方法,通过边界索引确定中间索引,判断中间索引处的元素值和目标值的大小,来不断缩小查找区间。使用二分查找有如下一些限制&#…

ASP.NET通用作业批改系统设计

摘  要 该系统采用B/S结构,以浏览器方式登陆系统,用ASP.NET作为开发语言,数据库则使用Microsoft SQL Server 2000实现。《通用作业批改系统》包括了学生子系统、教师子系统、管理员子系统三大模块,该系统主要完成学生&#xff…

LibTorch入坑记--续2

一、安装faiss 我的faiss&#xff0c;用的是曾经安装过的 pip install faiss-gpu1.7 当时搞得环境名称是pni 二、配置环境 三、例子代码 #include <faiss/IndexFlat.h> #include <faiss/Index.h> #include <faiss/VectorTransform.h> #include <faiss/…

Mybatis进阶4-权限管理

权限管理 1.权限 //相当于 职责 2.用户 //相当于 职员&#xff08;职员就职于一个职位&#xff09; 3.角色 //相当于 职位&#xff08;有多个职责&#xff09; 权限管理基础表&#xff1a;权限表&#xff0c;用户表&#xff0c;角色表 问题1&#xff1a;…

SVM直观理解

https://tangshusen.me/2018/10/27/SVM/ https://www.bilibili.com/video/BV16T4y1y7qj/?spm_id_from333.337.search-card.all.click&vd_source8272bd48fee17396a4a1746c256ab0ae SVM是什么? 先来看看维基百科上对SVM的定义: 支持向量机&#xff08;英语&#xff1a;su…

根据最近拒包项目总结,详细讲解Google最新政策(上)

关于占比最多的移动垃圾软件拒审问题 移动垃圾软件(Mobile Unwanted Software)特征表现1> 具有欺骗性,承诺其无法实现的价值主张。2> 诱骗用户进行安装,或搭载在用户安装的其他程序上。3> 不向用户告知其所有主要功能和重要功能。4> 以非预期方式影响用户的系统…

Error Code: 1449. The user specified as a definer (‘admin‘@‘%‘) does not exist

前言 在进行MySQL数据库迁移或存储过程部署时&#xff0c;您可能会遇到错误 [Err] 1449 - The user specified as a definer (admin%) does not exist。这篇文章将为您提供一个详细的解决方案&#xff0c;帮助您顺利解决这一问题。 错误背景 此错误通常发生在尝试执行一个存…

Jenkins集成Kubernetes 部署springboot项目

文章目录 准备部署的yml文件Harbor私服配置测试使用效果Jenkins远程调用参考文章 准备部署的yml文件 apiVersion: apps/v1 kind: Deployment metadata:namespace: testname: pipelinelabels:app: pipeline spec:replicas: 2selector:matchLabels:app: pipelinetemplate:metada…

机器学习算法--朴素贝叶斯(Naive Bayes)

一、实验环境 1. python3.7 2. numpy > 1.16.4 3. sklearn > 0.23.1 二、朴素贝叶斯的介绍 朴素贝叶斯算法&#xff08;Naive Bayes, NB) 是应用最为广泛的分类算法之一。它是基于贝叶斯定义和特征条件独立假设的分类器方法。NB模型所需估计的参数很少&#xff0c;对缺…
最新文章