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  • • 问题描述
    • • 形式化描述
    • 最优子结构性质
    • 递归关系
    • • $m(i,j)$递归方程
    • `Python`实现

问题描述

• 给定$n$种物品和一背包，物品$i$的重量是$w_i$，其价值为$v_i$，背包的容量为$c$
• 如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大

形式化描述

• 给定$c>0$，$w_i>0$，$v_i>0(1\le i\le n)$，找出一个$n$元$0-1$向量$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$， x i ∈ {   0 , 1   } ( 1 ≤ i ≤ n ) x_{i} \in \set{0 , 1} (1 \leq i \leq n) xi​∈{0,1}(1≤i≤n)，使得$\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le c$，而且$\sum _{i=1}^n{v}_i{x}_i$达到最大
• $0-1$背包问题是一个特殊的整数规划问题

max ⁡ ∑ i = 1 n v i x i { ∑ i = 1 n w i x i ≤ c x i ∈ {   0 , 1   } ( 1 ≤ i ≤ n ) \max\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{v_{i} x_{i}} \kern{2em} \begin{cases} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}{w_{i} x_{i} \leq c} \\ x_{i} \in \set{0 , 1} (1 \leq i \leq n) \end{cases} maxi=1∑n​vi​xi​⎩ ⎨ ⎧​i=1∑n​wi​xi​≤cxi​∈{0,1}(1≤i≤n)​

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最优子结构性质

• 设$(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$是所给$0-1$背包问题的一个最优解，则$(y_2,y_3,\cdots ,y_n)$是下面相应子问题的一个最优解

max ⁡ ∑ i = 2 n v i x i { ∑ i = 2 n w i x i ≤ c − w 1 y 1 x i ∈ {   0 , 1   } ( 2 ≤ i ≤ n ) \max\displaystyle\sum\limits_{i = 2}^{n}{v_{i} x_{i}} \kern{2em} \begin{cases} \displaystyle\sum\limits_{i = 2}^{n}{w_{i} x_{i}} \leq c - w_{1} y_{1} \\ x_{i} \in \set{0 , 1} (2 \leq i \leq n) \end{cases} maxi=2∑n​vi​xi​⎩ ⎨ ⎧​i=2∑n​wi​xi​≤c−w1​y1​xi​∈{0,1}(2≤i≤n)​

• 否则，设$(z_2,z_3,\cdots ,z_n)$是上述子问题的一个最优解，而$(y_2,y_3,\cdots ,y_n)$不是它的最优解，由此可知，$\sum _{i=2}^n{v}_i{z}_i>\sum _{i=2}^n{v}_i{y}_i$，且$w_1{y}_1+\sum _{i=2}^n{w}_i{z}_i\le c$，因此$v_1{y}_1+\sum _{i=2}^n{v}_i{z}_i>\sum _{i=1}^n{v}_i{y}_i$，说明$(y_1,z_2,\cdots ,z_n)$是所给$0-1$背包问题的一个更优解，从而$(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$不是所给$0-1$背包问题的最优解，此为矛盾

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递归关系

• 设所给$0-1$背包问题的子问题 max ⁡ ∑ k = i n v k x k { ∑ k = i n w k x k ≤ j x k ∈ {   0 , 1   } ( i ≤ k ≤ n ) \max\displaystyle\sum\limits_{k = i}^{n}{v_{k} x_{k}} \kern{2em} \begin{cases} \displaystyle\sum\limits_{k = i}^{n}{w_{k} x_{k} \leq j} \\ x_{k} \in \set{0 , 1} (i \leq k \leq n) \end{cases} maxk=i∑n​vk​xk​⎩ ⎨ ⎧​k=i∑n​wk​xk​≤jxk​∈{0,1}(i≤k≤n)​的最优值为$m(i,j)$，即$m(i,j)$是背包容量为$j$，可选择物品为$i$，$i+1$，$\cdots$，$n$时$0-1$背包问题的最优值

$m(i,j)$递归方程

m ( i , j ) = { max ⁡ {   m ( i + 1 , j ) , m ( i + 1 , j − w i ) + v i   } , j ≥ w i m ( i + 1 , j ) , 0 ≤ j < w i m(i , j) = \begin{cases} \max\set{m(i + 1 , j) , m(i + 1 , j - w_{i}) + v_{i}} , & j \geq w_{i} \\ m(i + 1 , j) , & 0 \leq j < w_{i} \end{cases} m(i,j)={max{m(i+1,j),m(i+1,j−wi​)+vi​},m(i+1,j),​j≥wi​0≤j<wi​​

$$m(n,j)=\{\begin{array}{ll}{v}_n,& j\ge w_n\\ 0,& 0\le j<w_n\end{array}$$

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Python实现

def knapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)

    # 创建一个二维数组用于保存子问题的解
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 填充二维数组
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            # 当前物品的重量大于背包容量, 无法放入背包
            if weights[i - 1] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            # 考虑将当前物品放入背包和不放入背包两种情况, 选择价值最大的方案
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])

    # 构造最优解
    selected_items = []

    i, j = n, capacity
    while i > 0 and j > 0:
        # 当前物品被选中
        if dp[i][j] > dp[i - 1][j]:
            selected_items.append(i - 1)

            j -= weights[i - 1]

        i -= 1

    selected_items.reverse()

    return dp[n][capacity], selected_items


weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 8

max_value, selected_items = knapsack(weights, values, capacity)

print(f'最大价值为: {max_value}')
print(f'选中的物品索引为: {selected_items}')

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