同余方程定义：
设$f(x)=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$为整系数多项书，将含有变量$x$的同余式$f(x)=0(modm)$称为模$m$的同余式，$n$称为同余方程的次数。

若$a$是同余方程的解，那么剩余类$km+a$均是同余方程的解。我们把整个剩余类看成同余方程的一个解。当$c_1,c_2$模$m$不同于且是同余方程的解时，我们把它看作同余方程不同的解。

一次同余方程
形式：$ax=b(modm)$
定理：一次同余方程$ax=b(modm)$有解的充要条件是$gcd(a,m)|b$，且解数为$gcd(a,m)$。
证：
必要性：设$gcd(a,m)=r$。因为一次同余方程有解，所以$a{x}_0=km+b\to b=a{x}_0-km$。$r|a,r|m\to r|b$。
充分性：因为$gcd(a,m)|b$，所以令$a^{\prime }=\frac{a}{gcd(a,m)},b^{\prime }=\frac{b}{gcd(a,m)},m^{\prime }=\frac{m}{gcd(a,m)}$。
考虑同余方程$a^{\prime }x=1(mod{m}^{\prime })$，因为$gcd(a^{\prime },m^{\prime })=1$，所以存在唯一逆元使得$a^{\prime }{x}_0=1(mod{m}^{\prime })$。因此$a^{\prime }x=b^{\prime }(mod{m}^{\prime })$存在唯一解$x=x_0{b}^{\prime }(mod{m}^{\prime })$。
设$a^{\prime }{x}_0{b}^{\prime }=k_1{m}^{\prime }+b^{\prime }$左右同乘$r$得到：
$a{x}_0{b}^{\prime }-b=r{a}^{\prime }{x}_0{b}^{\prime }-b=r(k_1{m}^{\prime }+b^{\prime })-b=r{k}_1{m}^{\prime }+r{b}^{\prime }-b=k_{1}m$。
所以$m|a{x}_0{b}^{\prime }-b$，即$a(x_0{b}^{\prime })=b(modm)$，所以$x=x_0{b}^{\prime }(modm)$是同余方程特解。

考虑同余方程解的个数：
$x=x_0{b}^{\prime }(mod{m}^{\prime })$可得$x=x_0{b}^{\prime }+k{m}^{\prime },k=0,-1,1,-2,2,....$
模$m$可写为$x=x_0{b}^{\prime }+k{m}^{\prime }(modm),k=0,1,\mathrm{2...},gcd(a,m)-1$(因为若$k=gcd(a,m)+t,x=x_0{b}^{\prime }+gcd(a,m)m^{\prime }+t{m}^{\prime }=x_0{b}^{\prime }+m+t{m}^{\prime }(modm)=x_0{b}^{\prime }+t{m}^{\prime }(modm),t<gcd(a,m)$),所以解数为$gcd(a,m)$。