计算机图形学13:三维图形的几何变换

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作者:非妃是公主
专栏:《计算机图形学》
博客地址:https://blog.csdn.net/myf_666
个性签:顺境不惰,逆境不馁,以心制境,万事可成。——曾国藩
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文章目录

  • 专栏推荐
  • 专栏系列文章
  • 一、三维图形的几何变换
  • 二、数据结构及工具函数定义
  • 三、平移变换
    • 1. 平移变换矩阵
    • 2. 代码实现
    • 3. 效果展示
  • 四、比例变换
    • 1. 比例变换矩阵
    • 2. 代码实现
    • 3. 效果展示
  • 五、旋转变换
    • 1. 旋转变换矩阵
    • 2. 代码实现
    • 3. 效果展示
  • 六、对称变换
    • 1. 关于坐标平面对称变换矩阵
    • 2. 关于坐标轴对称变换矩阵
    • 3. 代码实现
    • 4. 效果展示
  • 七、错切变换
    • 1. 变换矩阵
    • 2. 代码实现
    • 3. 效果展示
  • 八、相对任意参考点的复合变换
  • 九、相对任意方向的复合变换
  • the end……

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二维图形的几何变换计算机图形学12——二维图形几何变换
三维图形的几何变换计算机图形学13——三维图形几何变换
三维图形的投影变换计算机图形学14——三维图形投影变换

计算机图形学(英语:computer graphics,缩写为CG)是研究计算机在硬件和软件的帮助下创建计算机图形的科学学科,是计算机科学的一个分支领域,主要关注数字合成与操作视觉的图形内容。虽然这个词通常被认为是指三维图形,事实上同时包括了二维图形以及影像处理。


一、三维图形的几何变换

在这里插入图片描述
对三维图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后生成新的三维图形,复杂图形的几何变换可通过变换矩阵对图形的基本元素点、线、面作用,其中对点的矩阵是基础。
其中的变换形式如下:
[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = T 2 D ⋅ [ x y z 1 ] = [ a b c p d e f q h i j r l m n s ] ⋅ [ x y z 1 ] \begin{bmatrix} x'\\y'\\z'\\1\\ \end{bmatrix}=T_{2D}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b&c&p\\ d&e&f&q\\ h&i&j&r\\ l&m&n&s\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix} xyz1 =T2D xyz1 = adhlbeimcfjnpqrs xyz1


二、数据结构及工具函数定义

struct VERTEX3D { double x, y, z; };	// 三维空间点结构
#define PI acos(-1)
/// <summary>
/// 矩阵结构体
/// </summary>
struct Matrix {
	vector<vector<double>> matrix;
	Matrix() { // 初始化为 4 * 4 的矩阵
		matrix = vector<vector<double>>(4, vector<double>(4, 0.0));
	}
	Matrix(int m, int n) { // 初始化为 m * n 的矩阵
		matrix = vector<vector<double>>(m, vector<double>(n, 0.0));
	}
	friend ostream& operator<<(ostream& out, Matrix& m) {
		for (int i = 0; i < m.matrix.size(); i++) {
			for (int j = 0; j < m.matrix[0].size(); j++) {
				out << m.matrix[i][j] << " ";
			}
			out << endl;
		}
		return out;
	}
};

/// <summary>
/// 矩阵相乘
/// </summary>
/// <param name="m1">矩阵相乘的第一个矩阵</param>
/// <param name="m2">矩阵相乘的第二个矩阵</param>
/// <returns></returns>
Matrix dotMatrix(Matrix m1, Matrix m2) {
	Matrix res;
	for (int i = 0; i < m1.matrix.size(); i++) {
		for (int j = 0; j < m2.matrix[0].size(); j++) {
			for (int k = 0; k < m1.matrix[0].size(); k++) {
				res.matrix[i][j] += m1.matrix[i][k] * m2.matrix[k][j];
			}
		}
	}
	return res;
}

/// <summary>
/// 将点转化为其次坐标
/// </summary>
/// <param name="vertex">点</param>
/// <returns>齐次坐标</returns>
Matrix vertex3D2qici(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex(4, 1);
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;
	return qiciVertex;
}

三、平移变换

1. 平移变换矩阵

T t = [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ]   T_{t}=\begin{bmatrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ Tt= 100001000010txtytz1  

2. 代码实现

/// <summary>
/// 三维坐标平移变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待平移地三维点</param>
/// <param name="x">x方向平移距离</param>
/// <param name="y">y方向平移距离</param>
/// <param name="z">z方向平移距离</param>
/// <returns>平移后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D transTransform3D(VERTEX3D vertex3D, int x, int y, int z) {
	Matrix qiciVertex= vertex3D2qici(vertex3D);  // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;
	
	// 设置各方向平移距离
	transform.matrix[0][3] = x;
	transform.matrix[1][3] = y;
	transform.matrix[2][3] = z;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

3. 效果展示

测试代码如下:

void testTransTransform() {
	VERTEX3D vertex3D = { 0,1,0 };
	VERTEX3D res = transTransform3D(vertex3D, 1, -1, 1);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

点(0,1,0)在x,y,z三个方向上分别平移(1,-1,1)个单位后,坐标为(1,0,1),如下图所示:

在这里插入图片描述


四、比例变换

1. 比例变换矩阵

T t = [ a 0 0 0 0 e 0 0 0 0 j 0 0 0 0 1 ]   T_{t}=\begin{bmatrix} a&0&0&0\\ 0&e&0&0\\ 0&0&j&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ Tt= a0000e0000j00001  

2. 代码实现

/// <summary>
/// 三维坐标比例变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <param name="x">x方向变换比例</param>
/// <param name="y">y方向变换比例</param>
/// <param name="z">z方向变换比例</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D scaleTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double scaleX, int scaleY, int scaleZ) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = scaleX;
	transform.matrix[1][1] = scaleY;
	transform.matrix[2][2] = scaleZ;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

3. 效果展示

测试代码如下:

void testScaleTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,2 };
	VERTEX3D res = scaleTransform3D(vertex3D, 5, -2, 3);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

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五、旋转变换

在这里插入图片描述


1. 旋转变换矩阵

旋转变换分为x、y、z三个方向上的旋转,遵循右手定则,拇指指向坐标轴的方向,手指的方向为正方向。
绕X轴旋转变换矩阵:
T R X = [ 1 0 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 ]   T_{RX}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta&0\\ 0&sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TRX= 10000cosθsinθ00sinθcosθ00001  

绕Y轴旋转变换矩阵:

T R Y = [ c o s θ 0 s i n θ 0 0 1 0 0 − s i n θ 0 c o s θ 0 0 0 0 1 ]   T_{RY}=\begin{bmatrix} cos\theta&0&sin\theta&0\\ 0&1&0&0\\ -sin\theta&0&cos\theta&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TRY= cosθ0sinθ00100sinθ0cosθ00001  

绕Z轴旋转变换矩阵:

T R Z = [ c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{RZ}=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TRZ= cosθsinθ00sinθcosθ0000100001  


2. 代码实现

VERTEX3D rotationForXTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double theta) {
	Matrix qiciVertex(4, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][2] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[3][3] = 1;

	transform.matrix[1][2] = -sin(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][1] = sin(2 * PI * theta / 360);

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

VERTEX3D rotationForYTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double theta) {
	Matrix qiciVertex(4, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[3][3] = 1;

	transform.matrix[0][2] = sin(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][0] = -sin(2 * PI * theta / 360);

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

VERTEX3D rotationForZTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double theta) {
	Matrix qiciVertex(4, 1); // 转化为其次坐标
	qiciVertex.matrix[0][0] = vertex3D.x;
	qiciVertex.matrix[1][0] = vertex3D.y;
	qiciVertex.matrix[2][0] = vertex3D.z;
	qiciVertex.matrix[3][0] = 1;

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[1][1] = cos(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	transform.matrix[0][1] = -sin(2 * PI * theta / 360);
	transform.matrix[1][0] = sin(2 * PI * theta / 360);

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

3. 效果展示

测试代码如下:

void testRotationForXTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,1 };
	VERTEX3D res = rotationForXTransform3D(vertex3D, 135);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testRotationForYTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,1 };
	VERTEX3D res = rotationForYTransform3D(vertex3D, 135);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testRotationForZTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 1,1,1 };
	VERTEX3D res = rotationForZTransform3D(vertex3D, 135);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

三个测试代码分别表示沿x,y,z轴旋转135度。

在这里插入图片描述


六、对称变换

对称变换包括关于xoy、yoz、zox三个平面对称,还包括,关于x轴、y轴、z轴对称,变换矩阵分别如下:


1. 关于坐标平面对称变换矩阵

关于xoy平面对称,因此x、y坐标不变,z坐标变为相反数(-z):
T F x y = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 1 ]   T_{Fxy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TFxy= 1000010000100001  
同理可得,关于yoz平面对称:
T F y z = [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{Fyz}=\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TFyz= 1000010000100001  
关于zox平面对称:
T F z x = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{Fzx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TFzx= 1000010000100001  


2. 关于坐标轴对称变换矩阵

关于x轴对称,因此x坐标不变,y、z坐标变为相反数(-y、-z):
T F x = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 1 ]   T_{Fx}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TFx= 1000010000100001  
同理可得,关于y轴对称:
T F y = [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 1 ]   T_{Fy}=\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TFy= 1000010000100001  
关于z轴对称:
T F z = [ − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{Fz}=\begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TFz= 1000010000100001  


3. 代码实现

/// <summary>
/// x轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForXTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = -1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// y轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForYTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = -1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// z轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForZTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// XOY轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForXOYTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = -1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// YOZ轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForYOZTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = -1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// ZOX轴镜像/对称变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的三维点</param>
/// <returns>比例变换后的三维点坐标</returns>
VERTEX3D symmetryForZOXTransform3D(VERTEX3D vertex3D) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = -1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

4. 效果展示

坐标点(4,3,2)关于坐标平面、坐标轴对称的结果如下:
在这里插入图片描述
测试代码如下:

void testSymmetryForXTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForXTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForYTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForYTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForZTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForZTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForXOYTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForXOYTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForYOZTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForYOZTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

void testSymmetryForZOXTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = symmetryForZOXTransform3D(vertex3D);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

七、错切变换

错切变换同样分为3种,分别为x、y、z三个方向进行变换。具体变换矩阵如下:


1. 变换矩阵

关于x方向错切,y、z坐标不会发生变换,x坐标发生变化的幅度会收到y、z坐标大小的影响,y、z越大,发生变换的程度也越大。
T S H x = [ 1 b c 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{SHx}=\begin{bmatrix} 1&b&c&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TSHx= 1000b100c0100001  

T S H y = [ 1 0 0 0 d 1 f 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]   T_{SHy}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ d&1&f&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TSHy= 1d0001000f100001  

T S H z = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 g h 1 0 0 0 0 1 ]   T_{SHz}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ g&h&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\ TSHz= 10g001h000100001  


2. 代码实现

/// <summary>
/// X方向错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的点</param>
/// <param name="miscutY">Y方向错切量</param>
/// <param name="miscutZ">Z方向错切量</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX3D miscutForXTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double miscutY, double miscutZ) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 平移变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 错切量
	transform.matrix[0][1] = miscutY;
	transform.matrix[0][2] = miscutZ;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// Y方向错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的点</param>
/// <param name="miscutX">X方向错切量</param>
/// <param name="miscutZ">Z方向错切量</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX3D miscutForYTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double miscutX, double miscutZ) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 平移变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 错切量
	transform.matrix[1][0] = miscutX;
	transform.matrix[1][2] = miscutZ;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

/// <summary>
/// Z方向错切变换
/// </summary>
/// <param name="vertex3D">待变换的点</param>
/// <param name="miscutX">X方向错切量</param>
/// <param name="miscutY">Y方向错切量</param>
/// <returns>变换后的点</returns>
VERTEX3D miscutForZTransform3D(VERTEX3D vertex3D, double miscutX, double miscutY) {
	Matrix qiciVertex = vertex3D2qici(vertex3D); // 转化为其次坐标

	Matrix transform;		 // 平移变换矩阵
	transform.matrix[0][0] = 1;
	transform.matrix[1][1] = 1;
	transform.matrix[2][2] = 1;
	transform.matrix[3][3] = 1;

	// 错切量
	transform.matrix[2][0] = miscutX;
	transform.matrix[2][1] = miscutY;

	// 进行变换得到齐次坐标结果
	Matrix qicires = dotMatrix(transform, qiciVertex);
	// 将齐次坐标转化为三维点坐标
	VERTEX3D res;
	res.x = qicires.matrix[0][0];
	res.y = qicires.matrix[1][0];
	res.z = qicires.matrix[2][0];
	return res;
}

void testMiscutTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = miscutForZTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

3. 效果展示

在这里插入图片描述

测试代码如下:

void testMiscutTransform3D() {
	VERTEX3D vertex3D = { 4,3,2 };
	VERTEX3D res = miscutForXTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
	res = miscutForYTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
	res = miscutForZTransform3D(vertex3D, 2, 2);
	cout << res.x << " " << res.y << " " << res.z << endl;
}

八、相对任意参考点的复合变换

相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步:
(1)将参考点F移至坐标原点;
(2)针对原点进行三维几何变换;
(3)进行反平移。


九、相对任意方向的复合变换

针对任意方向轴的变换的五个步骤:
①使任意方向轴的起点与坐标原点重合,此时进行平移变换。
②使方向轴与某一坐标轴重合,此时需进行旋转变换,且旋转变换可能不止一次。
③针对该坐标轴完成变换。
④用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。
⑤用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。
在这里插入图片描述


the end……

三维图形的几何变换到这里就要结束啦~~到此既是缘分,欢迎您的点赞评论收藏关注我,不迷路,我们下期再见!!

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