AVL——平衡搜索树

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💬<4>前言：AVL树是对二叉搜索树的严格高度控制，所以AVL树的搜索效率很高，但是这是需要付出很大的代价的，要维护父亲指针，和平衡因子。

目录

一.AVL的概念

二. AVL树节点及整体结构的定义

 三. AVL树的插入

1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

2.根据插入的位置调整平衡因子

四.AVL树的旋转

1.左单旋

2.右单旋

3.左右双旋

4.右左双旋

5.总结：

五.AVL树的删除(了解)

六.AVL树的性能

七.完整代码及测试

一.AVL的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

 

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O(log{_{2}}^{n})，搜索时间复杂度O(log{_{2}}^{n})

二. AVL树节点及整体结构的定义

//AVL树结点
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(pair<K,V> kv)
		:_kv(kv),
		_bf(0),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr),
		_parent(nullptr)
	{}
	   
	pair<K, V> _kv;              //Key/Value数据
	int _bf;                     //平衡因子
	AVLTreeNode<K, V>* _left;    //结点的左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right;   //结点的右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //结点的双亲
};

//AVL树定义
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(pair<K,V> kv){}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

 三. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

插入过程：

1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

    bool insert(pair<K,V> kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;//记录当前结点
		Node* parent = nullptr;//记录父亲结点
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//找到了合适的位置，创建新节点，出入位置
		 cur = new Node(kv);
		//修改新节点的指向
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;
          
        //未完待续....
    }

2.根据插入的位置调整平衡因子

平衡因子：右子树高度减去左子树高度。

cur 插入后，parent 的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

  1.  如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
  2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

  1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足  AVL树的性质，插入成功。
  2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此 时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。
  3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。

		while (parent)
		{
            //cur插入到parent的左侧
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else//cur插入到parent的右侧
			{
				parent->_bf++;
			}

            //需向上调整平衡因子
			if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)
			{
				cur = parent;
				parent = cur->_parent;
			}
            //无需向上调整平衡因子
			else if(parent->_bf==0)
			{
				break;
			}
            //无需向上调整平衡因子，直接旋转处理
			else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)
			{
				//旋转,旋转之后平衡因子已经平衡，可以直接推出
				
				break;
			}
			else//出现的其他的错误情况
			{
				assert(0);
			}
		}

四.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.左单旋

新节点插入较高右子树的右侧

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树中，30右子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，即将右子树往上提，这样30转下来，因为30比60小，只能将其放在60的左子树，而如果60有左子树，左子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在30的右子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  • 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在。
  • 30可能是整棵树根节点，也可能是子树根节点。

  如果是整棵树根节点，旋转完成后，要更整棵树新根节点；如果是子树根节点，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

    void RotateL(Node* parent)
	{
		//  a
		//     b
		//        c
		//找到需要旋转的结点
		Node* curR = parent->_right;
		Node* curRL = curR->_left;

		//调整结点，并且修改其父亲结点指针
		parent->_right = curRL;
		if (curRL)//可能为空
		{
			curRL->_parent = parent;
		}
		//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲
		Node* pparent = parent->_parent;
		//修改子树根节点
		curR->_left = parent;
		parent->_parent = curR;

		//子树根节点有可能是整棵树的根节点
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = curR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else//子树根节点不是整棵树的根节点
		{
			//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = curR;
			}
			else
			{
				pparent->_right = curR;
			}
		}
		//修改平衡因子
		curR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2.右单旋

新节点插入较高左子树的左侧

 右单旋过程和左单旋转过程一模一样仅仅只是反过来。

    void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* curL = parent->_left;
		Node* curLR = curL->_right;

		parent->_left = curLR;
		if (curLR)
		{
			curLR->_parent = parent;
		}

		Node* pparent = parent->_parent;

		curL->_right = parent;
		parent->_parent = curL;

		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = curL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = curL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = curL;

			}
		}
		curL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

3.左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

 将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

注意：旋转之前，60的平衡因子可能是 -1 / 0 / 1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整。

 当h=0,时60自己就是一个新插入的结点，此时他的平衡因子就是。

所以旋转之前，需要保存curLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子。

4.右左双旋

右左双旋和左右双旋过程一模一样，仅仅只是反过来。

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* curR = parent->_left;
		Node* curRL = curR->_right;
		int curRL_bf = curRL->_bf;

		RotateL(curR);
		RotateR(parent);

		if (curRL_bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			curRL->_bf = 0;
			curR->_bf = 1;
		}
		else if (curRL_bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			curRL->_bf = 0;
			curR->_bf = 1;
		}
		else if (curRL_bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			curRL->_bf = 0;
			curR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

5.总结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为curR

  • 当curR的平衡因子为1时，执行左单旋
  • 当curR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为curL

  • 当curL的平衡因子为-1是，执行右单旋
  • 当curL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

        //调整平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上调整平衡因子
			{
				cur = parent;
				parent = cur->_parent;
			}
			else if(parent->_bf==0)//无需向上调整平衡因子
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//无需向上调整平衡因子，直接旋转
			{
				
				if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);//左单旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);//右单旋
				}
				else if (parent->_bf == 2 && parent->_left->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);//右左双旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && parent->_left ->_bf== 1)
				{
					RotateLR(parent);//左右双旋
				}
				else
				{
					assert(false);//其他错误情况
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(0);
			}

五.AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不
错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

六.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log{_{2}}^{n}。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

七.完整代码及测试

AVL.hpp

#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(pair<K,V> kv)
		:_kv(kv),
		_bf(0),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr),
		_parent(nullptr)
	{
	}
	   
	pair<K, V> _kv;              //Key/Value数据
	int _bf;                     //平衡因子
	AVLTreeNode<K, V>* _left;    //结点的左子树
	AVLTreeNode<K, V>* _right;   //结点的右子树
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //结点的双亲
};


template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(pair<K,V> kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//找到了合适的位置
		 cur = new Node(kv);
		//
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//调整平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上调整平衡因子
			{
				cur = parent;
				parent = cur->_parent;
			}
			else if(parent->_bf==0)//无需向上调整平衡因子
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//无需向上调整平衡因子，直接旋转
			{
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);//左单旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);//右单旋
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);//右左双旋
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur ->_bf== 1)
				{
					RotateLR(parent);//左右双旋
				}
				else
				{
					//cout << parent->_bf << ":" << /*parent->_left->_bf << ":" <<*/ parent->_right->_bf << endl;
					assert(false);//其他错误情况
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

	
	void Inorder()
	{
		_inorder(_root);
		cout << endl;
	}
	


private:
	void _inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_inorder(root->_right);
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		//  a
		//     b
		//        c
		//找到需要旋转的结点
		Node* curR = parent->_right;
		Node* curRL = curR->_left;

		//调整结点，并且修改其父亲结点指针
		parent->_right = curRL;
		if (curRL)//可能为空
		{
			curRL->_parent = parent;
		}
		//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲
		Node* pparent = parent->_parent;
		//修改子树根节点
		curR->_left = parent;
		parent->_parent = curR;

		//子树根节点有可能是整棵树的根节点
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = curR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else//子树根节点不是整棵树的根节点
		{
			//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = curR;
			}
			else
			{
				pparent->_right = curR;
			}
			curR->_parent = pparent;
		}
		//修改平衡因子
		curR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* curL = parent->_left;
		Node* curLR = curL->_right;

		parent->_left = curLR;
		if (curLR)
		{
			curLR->_parent = parent;
		}

		Node* pparent = parent->_parent;

		curL->_right = parent;
		parent->_parent = curL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = curL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = curL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = curL;

			}
			curL->_parent = pparent;
		}
		curL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* curL = parent->_left;
		Node* curLR = curL->_right;
		//旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，
		//需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
		int curLR_bf = curLR->_bf;

		//
		RotateL(curL);
		RotateR(parent);

		if (curLR_bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			curLR->_bf = 0;
			curL->_bf = 0;
		}
		else if (curLR_bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			curL->_bf = -1;
			curLR->_bf = 0;
		}
		else if (curLR_bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			curL->_bf = 0;
			curLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* curR = parent->_right;
		Node* curRL = curR->_left;
		int curRL_bf = curRL->_bf;

		RotateR(curR);
		RotateL(parent);

		if (curRL_bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			curRL->_bf = 0;
			curR->_bf = 1;
		}
		else if (curRL_bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			curRL->_bf = 0;
			curR->_bf = 0;
		}
		else if (curRL_bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			curRL->_bf = 0;
			curR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"AVL.hpp"
int main()
{
	int arr1[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int arr2[] = {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14};
	AVLTree<int, int> a1;
	AVLTree<int, int> a2;
	for (auto e : arr1)
	{
		a1.insert(make_pair(e,e));
	}
	a1.Inorder();

	for (auto e : arr2)
	{
		a2.insert(make_pair(e, e));
	}
	a2.Inorder();
}

 

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第三章 内存管理 一、内存管理概念 1.基本概念 2.覆盖与交换 覆盖技术&#xff1a; 交换技术&#xff1a; 总结&#xff1a; 3.连续分配管理方式 单一连续分配 固定分区分配 动态分区分配 动态分区分配算法&#xff1a; 总结&#xff1a; 4.基本分页存储管理 定义&#xf…
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【Unity3D赛车游戏】【二】如何制作一个真实模拟的汽车

【Unity3D赛车游戏】【二】如何制作一个真实模拟的汽车

&#x1f468;‍&#x1f4bb;个人主页&#xff1a;元宇宙-秩沅 &#x1f468;‍&#x1f4bb; hallo 欢迎 点赞&#x1f44d; 收藏⭐ 留言&#x1f4dd; 加关注✅! &#x1f468;‍&#x1f4bb; 本文由 秩沅 原创 &#x1f468;‍&#x1f4bb; 收录于专栏&#xff1a;Uni…
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VoxWeekly｜The Sandbox 生态周报｜20230821

VoxWeekly｜The Sandbox 生态周报｜20230821

欢迎来到由 The Sandbox 发布的《VoxWeekly》。我们会在每周发布&#xff0c;对上一周 The Sandbox 生态系统所发生的事情进行总结。 如果你喜欢我们内容&#xff0c;欢迎与朋友和家人分享。请订阅我们的 Medium 、关注我们的 Twitter&#xff0c;并加入 Discord 社区&#xf…
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01、Cannot resolve MVC View ‘xxxxx前端页面‘

01、Cannot resolve MVC View ‘xxxxx前端页面‘

Cannot resolve MVC View ‘xxxxx前端页面’ 没有找到对应的mvc的前端页面。 代码&#xff1a;前端这里引入了 thymeleaf 模板 解决&#xff1a; 需要添加 thymeleaf 的依赖 <dependency><groupId>org.springframework.boot</groupId><artifactId>s…
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基于nginx禁用访问ip

基于nginx禁用访问ip

一、背景 网络安全防护时&#xff0c;禁用部分访问ip,基于nginx可快速简单实现禁用。 二、操作 1、创建 conf.d文件夹 在nginx conf 目录下创建conf.d文件夹 Nginx 扩展配置文件一般在conf.d mkdir conf.d 2、新建blocksip.conf文件 在conf.d目录新建禁用ip的扩展配置文…
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DevExpress WPF HeatMap组件，一个高度可自定义的热图控件！

DevExpress WPF HeatMap组件，一个高度可自定义的热图控件！

像所有DevExpress UI组件一样&#xff0c;HeatMap组件针对速度进行了优化&#xff0c;包括数十个自定义设置和高级API&#xff0c;因此用户可以快速将美观的数据可视化集成到下一个WPF应用程序中。 P.S&#xff1a;DevExpress WPF拥有120个控件和库&#xff0c;将帮助您交付满…
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vscode里配置C#环境并运行.cs文件

vscode里配置C#环境并运行.cs文件

vscode是一款跨平台、轻量级、开源的IDE, 支持C、C、Java、C#、R、Python、Go、Nodejs等多种语言的开发和调试。下面介绍在vscode里配置C#环境。这里以配置.Net SDK v5.0&#xff0c;语言版本为C#9.0&#xff0c;对应的开发平台为VS2019&#xff0c;作为案例说明。 1、下载vsc…
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文件四剑客

文件四剑客

目录 前言 一、正则表达式 二、grep 三、find 四、sed 五、awk 前言 文件四剑客是指在计算机领域中常用的四个命令行工具&#xff0c;包括awk、find、grep和sed。它们在处理文本文件和搜索文件时非常强大和实用。 1. awk是一种强大的文本处理工具&#xff0c;它允许用户根据指…
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数据结构——栈和队列

数据结构——栈和队列

栈和队列的建立 前言一、栈1.栈的概念2.栈的实现3.代码示例&#xff08;1&#xff09;Stack.h&#xff08;2&#xff09;Stack.c&#xff08;3&#xff09;Test.c&#xff08;4&#xff09;运行结果&#xff08;5&#xff09;完整代码演示 二、队列1.队列的概念2.队列的实现3.代…
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