神经网络

5.1 神经元模型

在生物神经网络中，神经元之间相互连接，当一个神经元受到的外界刺激足够大时，就会产生兴奋（称为"激活"），并将剩余的"刺激"向相邻的神经元传导。

神经元模型
模型中$x_i$表示各个神经元传来的刺激，刺激强度有大有小，所以$w_i$表示不同刺激的权重，Θ表示阈值。一段刺激经过加权汇总再减去神经元的阈值后，经过激活函数$f$处理，就是一个输出y，它如果不为0，那么y就会作用到其他神经元当中，就如同$x_i$一样作为输入。

前面提到的激活函数$f$一般表示为:
$$sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

5.2 感知机与多层网络

• 感知机能快速实现与，或，非逻辑运算，它由两层神经元组成，输入层接受信号好传递到输出层，并在输出层进行激活函数处理。
  

输出计算方法为：
$$y=f(\sum _i{w}_i{x}_i-\Theta )$$
以"与"运算为例($x_1$交$x_2$)：令两个w值为1，Θ（阈值）为2，则有
$$y=f(1\times x_1+1\times x_2-2)$$

只在x均为1时，y才为1

• 常见的神经网络如下图所示的层级结构，每层神经元与下一层的互相连接，称为"多层前馈神经网络"，神经网络学习到的内容，存在于前面提到的连接权$w_i$和阈值$\Theta$里。
  

5.3 误差逆传播算法（简称BP）

多层网络的学习能力强于单层感知机，可以用BP算法进行训练，通过计算实际输出与期望输出之间的误差，再将这份误差反向传播到网络的每一层，从而调整网络中的权重，这个过程会迭代进行，直到训练效果达到预期。
累计误差表示为：
$$E=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{E}_k$$
具体步骤的伪代码为：

1.初始化网络的权重和阈值
2.对于每个训练样本，进行前向传播计算：
    将输入样本传递给输入层
    计算隐藏层的输出，使用激活函数（前面提到的Sigmoid函数）
    将隐藏层的输出传递给输出层，再次使用激活函数
3.计算输出层的误差（期望输出与实际输出的差值）
4.反向传播误差：
    根据误差和激活函数的导数，计算输出层的梯度
    将输出层的梯度传播回隐藏层，再根据权重调整梯度
    更新隐藏层到输出层的权重
    把隐藏层的梯度传播回输入层，根据权重调整梯度
    更新输入层到隐藏层的权重
5.重复2-4步骤，直到达到预定的训练次数或者收敛了
6.使用训练好的网络进行预测

BP神经网络经常出现"过拟合"现象，表现为：训练误差持续降低，测试误差上升。解决的方法有两种：

• 第一种是"早停"：把数据集分为训练集和验证集，前者就是做上述伪代码的工作，即计算梯度，更新权重等；验证集用来估计误差（如分类任务中的分类准确率），当出现训练误差减小但验证误差提升时，停止训练，同时返回具有最小验证集误差的权重和阈值。
• 第二种是"正则化"，在误差目标函数中加入一个描述网络复杂度的部分，通过对模型的复杂度进行惩罚（如限制模型的参数或权重的大小）来防止过拟合

深度学习

深度学习模型通过"增加隐层"的数目，提高训练效率，降低过拟合的风险。

以第二章的手写体识别为例，网络输入是一个32×32的手写数字图像，输出是算法的识别结果，过程以伪代码的形式呈现。

对所有手写数字文本
    将加载的32×32矩阵转为一行1024的向量
    把文本对应的数字转化为one-hot向量（某个值为1，其余均为0）
构建神经网络：设置网络的隐藏层数，各隐藏层神经元个数，激活函数学习率，优化方法，最大迭代次数
做测试

隐藏层中的神经元能直接影响网络的学习能力，但是如果数量过多容易导致出现过拟合现象，选取合适参数的方法有

• 手动筛选：给定一个范围，如：比较50，100，500的效果，如果200的效果优于其他两者，那么就从50到100间再选择一个数值，但这个方法有点慢
• 正则化技术：以L1正则化（L1 Regularization）为例：L1正则化通过在损失函数中添加参数的绝对值之和，来惩罚模型中的大参数。这导致一些参数变为零，从而实现特征选择和稀疏性。L1正则化可以促使模型更加稀疏，即只有少数参数对模型的预测起作用，其他参数趋近于零。

实验：比较隐藏层不同神经元个数的多层感知机的实验效果

(学习率均为0.0001，迭代次数为2000)

clf = MLPClassifier(hidden_layer_sizes=(100,),
                    activation='logistic', solver='adam',
                    learning_rate_init=0.0001, max_iter=2000)
print(clf)

变量为神经元个数，分别是50，100，500，1000

实验分析：神经元个数从50逐渐升到500个的过程中，网络对目标特征的抓取能力逐渐提升，所以识别的正确率随之提高。但在个数跳到1000时正确率没有提高，可能是因为个数在达到1000之前，多层感知机就已经收敛了，个数继续增加相当于时过度训练数据，提高网络复杂度，这并不会带来增益。能测试的变量还有迭代次数和学习率。