1 傅里叶变换

单帧信号x1 -> 基信号1（频率f1） -> 映射到同频率正余弦函数 -> 得到复数向量a[1] + b[1]j -> 计算绝对值得到|X[1]| 基信号2（频率f2） -> 映射到同频率正余弦函数 -> 得到复数向量a[2] + b[2]j -> 计算绝对值得到|X[2]| ... 基信号i（频率fi） -> 映射到同频率正余弦函数 -> 得到复数向量a[i] + b[i]j -> 计算绝对值得到|X[i]| 单帧信号x2 -> 基信号（频率f1） -> 映射到同频率正余弦函数 基信号（频率f2） -> 映射到同频率正余弦函数 ... 基信号（频率fi） -> 映射到同频率正余弦函数 ...

其中，复数的实部a[i]表示对于该基信号分量在余弦波上的投影强度，虚部b[i]对应于在正弦波上的投影强度。对复数计算绝对值得到该基信号的幅度|X[i]| = 根号下a[i]²+b[i]²。

这些|X[i]|结合起来形成幅度谱|X|，可以表示各个基信号分量占单帧信号的幅值强度。

1 离散傅里叶变换（DFT）

1.1 是什么

将离散的数字信号（比如录音采样后的数字序列）从“时间领域”转换到“频率领域”。

• 输入：一串随时间变化的数字（比如每秒采样44100次的音频数据）。
• 输出：一串代表不同频率强度的数字（比如低音有多少、中音有多少、高音有多少）。

1.2 怎么工作

用各种不同频率的“正弦波”去匹配你的信号。

• 它尝试用低频正弦波去拟合，看匹配程度；
• 再试中频、高频……
• 最后告诉你：“你的信号里，低频成分占30%，中频占50%，高频占20%。”

2 快速傅里叶变换（FFT）

2.1 是什么

计算结果与DFT一样，但效率高。

2.2 怎么工作

假设你要计算 8 个点的 DFT：

• DFT 做法：老老实实算 8×8 = 64 次运算。
• FFT 做法：
  1. 把 8 个点分成两组：偶数位置的点 和 奇数位置的点。
  2. 分别计算这两组 4 个点的 DFT。
  3. 再把结果巧妙合并。
  4. 继续递归拆分……直到变成最简单的 2 点 DFT。

这样，计算量从N²降到了N log₂N。