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算术平均值与几何平均值

1. 算术平均值（Arithmetic Mean）

定义： 所有数值之和除以数值的个数。

公式：

对于 \(n\) 个数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)：

\[A = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]

例子： 求 2, 4, 6 的算术平均值

\[A = \frac{2 + 4 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

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2. 几何平均值（Geometric Mean）

定义： 所有数值乘积的 \(n\) 次方根。

公式：

对于 \(n\) 个正数 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)：

\[G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \]

例子： 求 2, 4, 8 的几何平均值

\[G = \sqrt[3]{2 \times 4 \times 8} = \sqrt[3]{64} = 4 \]

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3. 两者的重要不等式

对于任意正数，算术平均值 \(\geq\) 几何平均值，当且仅当所有数相等时取等号：

\[\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \]

经典特例（两个数）：

\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]

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4. 举例对比

数据	算术平均值	几何平均值
2, 8	\(\frac{2+8}{2}=5\)	\(\sqrt{2 \times 8}=4\)
3, 3, 3	\(\frac{3+3+3}{3}=3\)	\(\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3}=3\)
1, 4, 16	\(\frac{1+4+16}{3}=7\)	\(\sqrt[3]{1 \times 4 \times 16}=4\)

可以看到：

• 当数据相等时，两者相等
• 当数据不相等时，算术平均值 > 几何平均值

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5. 应用场景

类型	适用场景
算术平均值	求平均成绩、平均收入等加法关系的数据
几何平均值	求平均增长率、平均比率等乘法关系的数据

例子： 某投资第一年涨 10%，第二年涨 50%，平均增长率用几何平均：

\[G = \sqrt{1.10 \times 1.50} \approx 1.284 \]

平均年增长率约为 28.4%，而不是算术平均的 30%。