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专题：动点问题\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：数量关系+分类讨论 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

(26年深圳南山外国语初三二模)

如图，在菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=60^\circ\)，点\(P\)为线段\(AC\)上一动点，点\(E\)为射线\(BP\)上的一点（点\(E\)与点\(B\)不重合）。

【问题解决】

（1）如图①，若点\(P\)与线段\(AC\)的中点\(O\)重合，则\(∠PBC\)的度数为 ，线段\(BP\)与线段\(AC\)的位置关系是 ；

【问题探究】

（2）如图②，在点\(P\)运动过程中，点\(E\)在线段\(BP\)上，且\(∠AEP=30^\circ\)，\(∠PEC=60^\circ\)，判断线段\(BE\)与线段\(EC\)的数量关系，并说明理由；

【拓展延伸】

（3）在点\(P\)运动过程中，将线段\(BE\)绕点\(E\)逆时针旋转\(120^\circ\)得到\(EF\)，射线\(EF\)交射线\(BC\)于点\(G\)，若\(BE=2FG\)，\(AB=7\)，求\(AP\)的长.

 

【分析】

第一问：

依题意可知\(∆ABC\)是等边三角形，又\(P\)为线段\(AC\)的中点，由三线合一可得\(∠PBC=30^\circ，BP⊥AC\)；

 

第二问：

由于\(∆ABC\)是等边三角形，所以会想到手拉手模型(看图类似奔驰模型)，把\(∆ABE\)绕着点\(B\)顺时针旋转\(60^\circ\)得到\(∆BCM\)，可得\(∆BEM\)是等边三角形；

则$∠BMC=∠BEA=150^\circ⇒∠EMC=90^\circ$，$∠MEC=180^\circ-∠BEM-∠PEC=60^\circ$； 所以$EC=2EM=2BE$.  

第三问：

该问最重要的要考虑全面，有两种可能：①点\(G\)在线段\(EF\)的延长线上，②点\(G\)在线段\(EF\)上；

第一种情况，由图易得\(\left\{ \begin{array}{c} ∠BAM=∠BEG=120^\circ\\ ∠AMB=∠MBC \end{array} \right. ⇒∆ABM\sim ∆EBG\)，则\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{BE}{EG}=\dfrac{2}{3}\)；

又\(∆APM\sim ∆CPB⇒\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{2}{3}\)；又\(AC=AB=7\)，\(∴AP=7×\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{5}\)；

第二种情况，同理可得\(∆ABM\sim ∆EBF\)，则\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{EB}{EF}=2\)；

又\(∆APM\sim ∆CPB⇒\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=2\)，

又\(AC=AB=7\)，\(∴AP=7×\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}\)；

综上\(AP\)的长度为\(\dfrac{14}{5}\)或\(\dfrac{14}{3}\).
 

【解答】

第一问：

\(∠PBC=30^\circ\)，垂直；
 

第二问：

\(BE\)绕着点\(B\)顺时针旋转\(60^\circ\)得到\(BM\)，连接\(CM，EM\)，

则\(∆BEM\)是等边三角形，

\(∴BE=EM=BE，∠BME=60^\circ，∠BEM=60^\circ\)，

\(∵∠ABC=60^\circ\)，\(∴∠ABE=∠CEM\)，

\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AB=BC\)，

\(∴∆ABE≅∆CBM\)，

\(∴∠BMC=∠BEA=180^\circ-30^\circ=150^\circ\)，

\(∴∠EMC=150^\circ-∠BME=90^\circ\)，

又\(∠MEC=180^\circ-∠BEM-∠PEC=60^\circ\)；

\(∴EM=EC×\cos ⁡60^\circ=\dfrac{1}{2} EC\)，

又\(EM=BE\)，\(∴EC=2BE\).

 

第三问：

①当点\(G\)在线段\(EF\)的延长线上时，延长\(BE\)交\(AD\)于\(M\)，

\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AD||BC\)，

\(∴∠BAD=180^\circ-∠ABC=120^\circ=∠BEF\)，\(∠AMB=∠MBC\)，

\(∴∆ABM\sim ∆EBG\)，\(∴\dfrac{AM}{BE}=\dfrac{AB}{EG}\)，即\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{BE}{EG}\)，

\(∵BE=2FG，BE=EF\)，\(∴\dfrac{BE}{EG}=\dfrac{2}{3}\)，

\(∴\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{3}\)，\(∴\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，

\(∵AD||BC\)，\(∴∆APM\sim ∆CPB\)，\(∴\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，

又\(AC=AB=7\)，

\(∴AP=7×\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{5}\)；

② 点\(G\)在线段\(EF\)上，延长\(BE\)交\(AD\)于\(M\)；

\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AD||BC\)，

\(∴∠BAD=180^\circ-∠ABC=120^\circ=∠BEF\)，\(∠AMB=∠MBC\)，

\(∴∆ABM\sim ∆EBF\)，则\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{EB}{EF}=2\)；

\(∵AD||BC\)，\(∴∆APM\sim ∆CPB\)，\(∴\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=2\)，

又\(AC=AB=7\)，\(∴AP=7×\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}\)；

综上\(AP\)的长度为\(\dfrac{14}{5}\)或\(\dfrac{14}{3}\).