从勾股定理开始，无理数就出现了。比如两个直角边相等的直角三角形，它的斜边长是一条直角边长度的倍，显然它也是这么得来的。在微小单位面积的尺度上，要保证，

至少需要，

这似乎是一个非常容易达到的条件，但是对于三边长度分别为1，1，和的直角三角形来说，只有周长能符合这一点，单边长度和面积都不符合。而如果要求为整数，它至少等于4。我们知道的连分数形式，

这个形式并不好看，我们把它变成，

右侧的每一个层次都是一样的了。它指的是斜边减去直角边长度的倒数。但这个好看的形式到底是什么意思，暂时不讨论它。

可以被认为是第一个无理数（不可比数），实数分为有理数和无理数，也就是可为比值的数和不可为比值的数。可为比值的数总可以找到两个整数的比，而不可比数，则显示为复杂的套用形式，就像这样。当然还有其它复杂的形式。但归根结底，都是无限形式，因为有限的比例形式总可以通过通分化简为两个整数的比，而无限形式则无法完成通分过程。当然某些无限形式也是可以因为内在不可化简部分相互抵消而获得可比的形式。所以可以认为，划分可比不可比的做法并不是一个很好的方式，因为这种划分存在内部的交叠部分。对于实数来说，按照有限可比和无限可化简以及无限不可化简来划分可能是更好的方式。

我们知道在直角坐标系中，两点之间的距离是用勾股定理来计算的，那实际上就假定了图像的精度总能超过观察者可达到的极限。二维的平面直角坐标系如此，三维的空间直角坐标系也是如此，当我们计算两点之间的距离的时候，我们用的还是勾股定理。只是用了两次勾股定理。分别是x和y一次，x和y一次的结果和z再做一次勾股定理。最后得到三个数量的平方之和的平方根，作为两点之间的距离。

为什么可以这样做？假定，

我们再拿出虚数单位，

假定极大，那么它的倒数就极小，我们认为它就是看上去为0的（半阶）无穷小。而如果我们认为本身就是单位1，那么在它自己所在周期的前提下，它的倒数就是更高（半阶）的无穷小，对于单位1和更高（半阶）的无穷大，现在让我们令，

得到，

代入，不难发现，

三者的平方和就是中间一项的平方。这实际上说的是作为半阶无穷大的虚数单位的性质，因为它的平方和它的负倒数的平方是一样的，这就导致了它划分的空间至少有两个可区分的维度，最多有三个可区分的维度。当然如果不区分两个或者三个维度，当把它们当成一个维度也行。所以一个虚数单位可以支持的维度就达到了三个。也就是我们看到的三维世界。换句话说，之所以世界是三维的，是因为我们用虚数单位的方式观察世界，而我们用这个方式是因为二分法是度量的最简单手段，而虚数单位是单位1和周期（无穷大）之积的几何平均数。

既然虚数单位是二分法的体现，那么我们也可以引入多分的情况，也就是定义广义虚数单位，

用这种方式就可以处理高维几何形体了。但是这里还有一个额问题，就是我们实际上已经习惯了二分法和虚数单位，以至于出现了冲突，比如，

这似乎意味着无穷的三次方根等于它自己，实际上不是这样的。这只是-1的表象，而-1在这里只是的简写。

有了这种广义虚数单位，现在让我们考虑高维的情况，比如就是3维。我们计算二维空间两点之间距离的时候用的是勾股定理，计算三维空间两点之间的距离的时候还是勾股定理，而计算一维空间两点之间距离的时候是求差，所以可以认为三维两点之间的距离本应当是立方和的立方根，而不是平方和的平方根，而之所以出现平方和的平方根则是因为虚数单位和其倒数以及单位1三者正好可以对应于三个坐标轴。按照勾股定理的原则，三维空间的两点距离应当写为，

此时再用作为虚数单位，

可见这种求距离的方法也是成立的。不仅如此，所有，

也都是成立的。这也是广义虚数单位存在的意义。反过来考虑这样一种情况，

并要求三者都是整数，能否成立？的确，这就是费马大定理。它显然不成立，只有

才能成立。对于前者，也就是来说，三者不具有共用同一个广义虚数单位的条件。但后者，的广义虚数单位就是的广义虚数单位。只要这些维度上的长度可以缩放到同一个单位，那么这些维数就可以放在一起度量长度，也就是说计算某个单位重复的整数次，而费马大定理的形式则不可能使得各个维数统一到同一种单位，所以计算单位重复的整数次就不可能，也就是说，三个长度都为整数就不可能发生。其中必定有某个长度是像那样的无理数。

有了上述讨论，让我们再回来看狭义相对论，那个光子到底走的是哪条路径？

宏观情况不需要讨论，我们只看微观情况，作为斜边的ct，当对其进行放大的时候，达到某个极限之后，它就不再是斜边，而有可能是阶梯形。但不管它是不是阶梯形，阶梯形本身都是观察者用于度量它的位置和角度的网格。但就算是这样，这个网格也不会落在ct’或者vt上面，网格里面单位的比例只是借用了外面的长度作为单位的比例。这样就可以认为光子在ct路径上的某一点里面它自身的小正方形的面积和观察者网格的网孔面积相等。而且小正方形的方向是斜着的，其余弦正好就是v/c。光子走的就是ct那条路径。而里面的人认为光子是直上直下的，所以里面的空间实际上是被向着运动方向的两端拉长的。如果认为里面的空间没有拉长，那么外面的空间就是向着运动中心压缩的。一个物体有了和观察者的相对速度之后更快的到达目的地，是因为它自己被拉长，也等价它所激发的局部环境被压缩。

转折点上的小正方形的偏转角度，

内部空间被拉长（注意是空间不是物质）

如果认为内部空间不变，则外部空间被压缩，

内部空间膨胀和外部空间压缩是同一件事的两种视角，并不是两个同时发生，但也可以认为是两个同时发生，如果是第三方视角的话。

在运动方向上出现拉伸或者压缩，那么在垂直运动的方向上会怎么样？这就出现了火车钻山洞的问题。问题原来的形式，运动的火车钻过和火车静止时等长的山洞，车的头尾是否和山洞的长度正好对齐。这还不是最大的问题，假定山洞的洞口和静止时火车的高度完全一样，那么运动的火车，是能钻进去还是会被挡在外面。

这个问题的本质说的是如果空间压缩，那么和运动垂直的方向上的空间是否压缩。毕竟山洞是个空间，火车里面也是空间。如果认为火车里面空间不变，山洞的空间压缩了，火车可能根本进不去；如果认为山洞的空间不变，则火车内部的空间膨胀了，火车可能也进不去。但现实是，从未发现过有这种情况，就算高能粒子实验也没有这类情况报出来。

所以回到狭义相对论，

可见其中，等位，等位，等位，也就是说，火车撞上山洞口的概率要远小于火车通过山洞的概率（但这个概率存在），是因为长度上的伸缩被时间上的伸缩替代的概率更大，也就是时间更容易伸缩，长度则相对不容易伸缩，或者说长度的伸缩相对于时间的伸缩可以忽略不记。从数学上理解，就是时间对时间的导数，远大于长度对时间的导数。回到先前提到的多分小数（也就是分量之间相互关联的向量），可见时间占有两个位置，作为分母的时候，在多分小数的低位，作为分子的时候在多分小数的高位，比如，

在此高位的时间和低位的时间都是实际的存在，而这也意味着，存在某种“宿命”，也就是运动在高维空间中存在既定路径，虽然这种路径不是完全决定性的。

那么，火车的高度方向也好长度方向也好，到底压缩了还是没压缩？我们还是得看螺线轨道，更大的相对速度意味着更大的绝对速度。而假定光速相等，根据等位原则，更快的速度就去到了当前时空的未来，也就是c增加dt不变，被认为是c不变dt增加积分的结果就是t更大一些，而这里的t指的是时空坐标中的时间坐标。当然，不做相对运动，只是提高产生的效果是一样的。

物质震动频率升高导致的附近空间频率升高进而导致空间长度缩短是有边际效应的。火车中间的长度缩短要比山洞的长度缩短更严重，所以无论如何火车都能钻过去。长度方向也是一样的，而且火车会内空间长度会比隧道空间长度略短。这是因为火车才是运动的发起者，隧道不是。而如果隧道是运动的发起者确实有可能卡住。