网站开发 职位,上海网站设计印刷拆除,专业网站建设团队,建设的网站百度搜不到img { display: block; margin-left: auto; margin-right: auto }
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th, td { border: 1px solid rgba(204, 204, 204, 1); p…
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th, td { border: 1px solid rgba(204, 204, 204, 1); padding: 8px; text-align: center }
th { background-color: rgba(242, 242, 242, 1) }在现实世界中，大量现象都具有随机性：股票收益存在波动，生产过程存在误差，考试成绩存在差异，随机试验的结果也无法提前确定。然而，随机并不意味着毫无规律。在大量重复观察下，随机变量往往会呈现出稳定的统计特征，而数学期望与方差正是揭示这种规律的核心工具。数学期望从整体角度描述随机变量的平均水平，它回答了“随机结果长期来看趋向于什么位置”；方差则进一步刻画随机变量围绕平均值的波动程度，它回答了“结果是否稳定”。二者共同构成概率论中最基本的数字特征体系。掌握这一专题，需要理解公式背后的概率意义，建立从分布到数字特征、从计算到规律分析的完整思维体系。目录引言：从随机变量到数字特征
一、数学期望：随机变量平均水平的数学描述
二、随机变量函数的数学期望
三、方差：描述随机变量波动程度的核心指标
四、数学期望与方差的重要性质
五、典型题型与复习策略
结语引言：从随机变量到数字特征
概率论的核心任务，是在随机现象中寻找隐藏的确定性规律。前序专题中，我们已经学习了利用分布列、概率密度函数和分布函数对随机变量进行完整刻画的方法。然而，在实际分析与应用中，一个随机变量的完整分布往往包含大量信息，直接研究全部概率结构不仅复杂，而且在许多问题中并非必要。因此，人们希望从概率分布中提取最具有代表性的指标，用少量关键数据描述随机变量的重要特征，这便形成了数字特征理论。
在众多数字特征中，数学期望与方差是最基础、最重要的两个指标。数学期望 \(E(X)\) 从整体角度描述随机变量的平均水平，反映随机结果在大量重复试验下呈现出的长期发展趋势；方差 \(D(X)\) 则进一步刻画随机变量围绕期望值的波动程度，衡量随机结果的稳定性。二者共同构成了分析随机变量的重要框架：期望负责确定“中心位置”，方差负责描述“变化范围”。例如，在投资决策中，两个项目可能具有相同的期望收益，但方差较小的项目通常意味着风险更低、收益更加稳定。因此，数学期望与方差不仅是概率计算的重要工具，也是连接随机模型与实际决策的重要桥梁。一、数学期望：随机变量平均水平的数学描述
1.1 期望的本质——概率加权平均
数学期望是“算术平均”在随机情形下的推广。若随机变量 \(X\) 取值为 \(x_i\)，对应概率为 \(p_i\)，则长期平均结果应按概率加权：离散型： \(E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_i p_i\)
连续型： \(E(X)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx\)本质上，期望是概率测度下的“重心”或“一阶矩”。
1.2 离散型随机变量的期望
定义：设 \(P(X=x_i)=p_i\)，若 \(\sum |x_i|p_i\) 收敛，则
\[E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i
\]例1：掷一枚均匀骰子，点数 \(X\) 的期望为
\[E(X)=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+\cdots+6\cdot\frac16=3.5
\]例2（几何分布）：某射手命中率为 \(p\)，连续射击直到命中，射击次数 \(X\) 服从几何分布，\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)，其期望
\[E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p = \frac{1}{p}
\]常用离散分布期望表（需熟记）：分布
参数
期望 \(E(X)\)0-1分布
\(P(X=1)=p\)
\(p\)二项分布
\(X\sim B(n,p)\)
\(np\)泊松分布
\(X\sim P(\lambda)\)
\(\lambda\)几何分布
\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)
\(1/p\)超几何分布
\(N,M,n\)
\(n\frac{M}{N}\)1.3 连续型随机变量的期望
定义：设密度函数为 \(f(x)\)，若 \(\int |x|f(x)\,dx\infty\)，则
\[E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx
\]例3（均匀分布）：\(X\sim U(a,b)\)，密度 \(f(x)=\frac{1}{b-a}\)，则
\[E(X)=\int_a^b x\cdot\frac{1}{b-a}\,dx = \frac{a+b}{2}
\]例4（指数分布）：\(X\sim \text{Exp}(\lambda)\)，密度 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x0)\)，则
\[E(X)=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{\lambda}
\]常用连续分布期望表：分布
参数
期望 \(E(X)\)均匀分布
\(U(a,b)\)
\(\frac{a+b}{2}\)指数分布
\(\text{Exp}(\lambda)\)
\(\frac{1}{\lambda}\)正态分布
\(N(\mu,\sigma^2)\)
\(\mu\)伽马分布
\(\Gamma(\alpha,\beta)\)
\(\frac{\alpha}{\beta}\)二、随机变量函数的数学期望
2.1 核心公式——无需求函数分布
若 \(Y=g(X)\)，则无需先求 \(Y\) 的分布，可直接计算：
\[E[g(X)]=
\begin{cases}
\displaystyle \sum_i g(x_i)p_i, X\text{ 离散},\\[8pt]
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x)\,dx, X\text{ 连续}.
\end{cases}
\]2.2 离散型函数期望
例5：设 \(X\) 分布列为\(x\)
-1
0
2\(p\)
0.2
0.5
0.3求 \(E(X^2)\) 和 \(E(e^X)\)。
解：
\[E(X^2)=(-1)^2(0.2)+0^2(0.5)+2^2(0.3)=1.4
\]\[E(e^X)=e^{-1}(0.2)+e^0(0.5)+e^2(0.3)=0.2e^{-1}+0.5+0.3e^2
\]2.3 连续型函数期望
例6：\(X\sim U(0,1)\)，求 \(E(X^2)\)。
\[E(X^2)=\int_0^1 x^2\cdot 1\,dx=\frac13
\]例7：设密度 \(f(x)=2x\ (0x1)\)，求 \(E(1/X)\)。
\[E\left(\frac1X\right)=\int_0^1 \frac1x \cdot 2x\,dx = 2
\]2.4 期望的线性性质
\[E(aX+b)=aE(X)+b,\qquad E\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\sum_{i=1}^n a_iE(X_i)
\]注意：线性性质不要求变量独立，这是期望与方差的重要区别。
三、方差：描述随机变量波动程度的核心指标
3.1 从期望到方差
期望相同，波动可能迥异。方差定义为
\[D(X)=E\left[(X-E(X))^2\right]
\]它度量取值围绕均值的平均平方偏离。其算术平方根 \(\sigma=\sqrt{D(X)}\) 称为标准差。
3.2 方差的计算公式
核心变形公式（考研高频）：
\[\boxed{D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2}
\]例8（二项分布）：\(X\sim B(n,p)\)，已知 \(E(X)=np\)，且
\[E(X^2)=np+n(n-1)p^2
\]故
\[D(X)=np+n(n-1)p^2-(np)^2=np(1-p)
\]常用分布方差表：分布
方差 \(D(X)\)0-1分布
\(p(1-p)\)二项分布
\(np(1-p)\)泊松分布
\(\lambda\)几何分布
\(\frac{1-p}{p^2}\)均匀分布 \(U(a,b)\)
\(\frac{(b-a)^2}{12}\)指数分布
\(\frac{1}{\lambda^2}\)正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)
\(\sigma^2\)3.3 计算步骤与例题
步骤：①求 \(E(X)\) → ②求 \(E(X^2)\) → ③代入 \(D(X)=E(X^2)-E^2(X)\)。
例9：设密度 \(f(x)=\frac32x^2\ (-1x1)\)，求 \(D(X)\)。
解：
\[E(X)=\int_{-1}^{1} x\cdot\frac32x^2\,dx=0
\]\[E(X^2)=\int_{-1}^{1} x^2\cdot\frac32x^2\,dx=\frac35
\]故
\[D(X)=\frac35-0=\frac35
\]四、数学期望与方差的重要性质
4.1 期望性质汇总性质
条件\(E(C)=C\)
常数\(E(aX+b)=aE(X)+b\)
任意\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
无需独立\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
\(X,Y\) 相互独立4.2 方差性质汇总性质
条件\(D(C)=0\)
常数\(D(X+C)=D(X)\)
平移不变性\(D(aX)=a^2D(X)\)
缩放\(D(aX+b)=a^2D(X)\)
一般线性变换\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)
\(X,Y\) 相互独立\(D\left(\sum a_iX_i\right)=\sum a_i^2D(X_i)\)
\(X_i\) 相互独立特别注意：方差没有线性可加性，独立条件不可忽视。若 \(X,Y\) 不独立，则 \(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)\)。
例10：已知 \(E(X)=2,\ D(X)=3\)，求 \(D(3X-5)\)。
\[D(3X-5)=3^2D(X)=9\times3=27
\]例11：\(X,Y\) 独立，\(D(X)=1,\ D(Y)=4\)，求 \(D(2X-3Y+1)\)。
\[D(2X-3Y+1)=4D(X)+9D(Y)=4\times1+9\times4=40
\]5.2 经典例题精析
设随机变量 \(X\) 的概率密度为
\[f(x)=\begin{cases}
ax+b, 0x2,\\
0, \text{其他},
\end{cases}
\]且 \(E(X)=\dfrac{2}{3}\)，求常数 \(a,b\) 及方差 \(D(X)\)。
解:
第一步：利用规范性（总概率为1）
\[\int_0^2 (ax+b)\,dx = \left[\frac{a}{2}x^2 + bx\right]_0^2 = 2a + 2b = 1
\]得
\[a + b = \frac12 \tag{1}
\]第二步：利用期望条件
\[E(X)=\int_0^2 x(ax+b)\,dx = \int_0^2 (a x^2 + b x)\,dx
= \frac{8}{3}a + 2b = \frac{2}{3} \tag{2}
\]第三步：联立求解
由 (1) 得 \(b = \frac12 - a\)，代入 (2)：
\[\frac{8}{3}a + 2\left(\frac12 - a\right) = \frac{2}{3}\\
\frac{8}{3}a + 1 - 2a = \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}a = -\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a = -\frac12
\]代回 (1)：
\[b = \frac12 - \left(-\frac12\right) = 1
\]因此密度函数为
\[f(x) = -\frac12 x + 1,\quad 0x2
\]该函数在 \((0,2)\) 上非负（端点处为 \(1\) 和 \(0\)），满足概率密度条件。
第四步：计算 \(E(X^2)\)
\[E(X^2)=\int_0^2 x^2\left(-\frac12 x + 1\right)\,dx
= -\frac12\int_0^2 x^3\,dx + \int_0^2 x^2\,dx
= -\frac12\cdot 4 + \frac{8}{3}
= -2 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3}
\]第五步：计算方差
\[D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2
= \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{2}{9}
\]
例13：\(X\sim N(0,1)\)，求 \(E(X^2)\) 和 \(D(X^2)\)。
解：因 \(X^2\sim \chi^2(1)\)，有 \(E(X^2)=1,\ D(X^2)=2\)。也可利用标准正态四阶矩 \(E(X^4)=3\)，则
\[D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=3-1=2
\]
例14（2022年数三真题）：设随机变量 \(X\sim N(0,4)\)，随机变量 \(Y\sim B\left(3,\frac13\right)\)，且 \(X\) 与 \(Y\) 不相关，则 \(D(X-3Y+1)=\)
解：由 \(X\sim N(0,4)\) 得 \(D(X)=4\)。
由 \(Y\sim B\left(3,\frac13\right)\) 得
\[D(Y)=3\cdot\frac13\cdot\left(1-\frac13\right)=\frac23
\]因 \(X\) 与 \(Y\) 不相关，故
\[D(X-3Y+1)=D(X)+9D(Y)=4+9\cdot\frac23=10
\]
例15（2022年数三真题）：设随机变量序列 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 独立同分布，且 \(X_i\) 的概率密度为
\[f(x)=\begin{cases}
1-|x|, |x|1,\\
0, \text{其他},
\end{cases}
\]则当 \(n\to\infty\) 时，\(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2\) 依概率收敛于（ ）
A. \(\frac18\)\quad B. \(\frac16\)\quad C. \(\frac13\)\quad D. \(\frac12\)
解：由辛钦大数定律，\(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2\) 依概率收敛于 \(E(X_i^2)\)。
计算
\[E(X_i^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx=\int_{-1}^{1}x^2(1-|x|)\,dx
=2\int_0^1 x^2(1-x)\,dx=\frac16
\]故收敛于 \(\frac16\)，选 B。例16（2021年数三真题）：设随机变量 \(X,Y\) 的数学期望都是 \(2\)，方差分别为 \(1\) 和 \(4\)，相关系数为 \(0.5\)，则根据切比雪夫不等式，\(P\{|X-Y|\geqslant 6\}\leqslant\)
解：令 \(Z=X-Y\)，则
\[E(Z)=E(X)-E(Y)=2-2=0
\]\[D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y)
\]由相关系数 \(\rho_{XY}=0.5\)，\(\text{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.5\times1\times2=1\)，故
\[D(Z)=1+4-2\times1=3
\]切比雪夫不等式：\(P\{|Z-E(Z)|\geqslant\varepsilon\}\leqslant \dfrac{D(Z)}{\varepsilon^2}\)，取 \(\varepsilon=6\)，得
\[P\{|X-Y|\geqslant 6\}\leqslant \frac{3}{36}=\frac{1}{12}
\]
例17（2018年数三真题）：设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim N(1,4)\)，则 \(D(XY)=\)
解：因 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，
\[E(XY)=E(X)E(Y)=0\times1=0
\]又
\[E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)
\]其中 \(X\sim N(0,1)\)，\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1\)；
\(Y\sim N(1,4)\)，\(E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=4+1=5\)。
故 \(E(X^2Y^2)=1\times5=5\)，于是
\[D(XY)=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2=5-0=5
\]
例18（2016年数三真题）：设随机变量 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立，且均服从区间 \([0,3]\) 上的均匀分布，则 \(E\left(\min_{1\leqslant i\leqslant n} X_i\right)=\)
解：\(X_i\sim U(0,3)\)，其分布函数为
\[F(x)=P(X_i\leqslant x)=\begin{cases}
0, x0,\\
\dfrac{x}{3}, 0\leqslant x\leqslant 3,\\
1, x3.
\end{cases}
\]令 \(M=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\)，则
\[P(Mx)=P(X_1x,X_2x,\cdots,X_nx)=\prod_{i=1}^n P(X_ix)=\left(1-\frac{x}{3}\right)^n,\quad 0x3
\]故 \(M\) 的密度函数为
\[f_M(x)=-\frac{d}{dx}P(Mx)=\frac{n}{3}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{n-1},\quad 0x3
\]于是
\[E(M)=\int_0^3 x\cdot\frac{n}{3}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{n-1}dx
=\frac{3}{n+1}
\]
结语
数学期望与方差并不是概率论中的孤立公式，而是从随机变量概率分布中提炼出的核心数字特征，是描述随机规律最重要的两个指标。数学期望刻画随机变量长期变化的平均趋势，回答了“随机结果整体趋向于什么”；方差则衡量随机变量围绕期望值的离散程度，反映了随机结果的稳定性与风险水平。二者共同建立了从随机现象到数量规律的桥梁，使复杂的不确定问题能够通过有限的信息进行分析与比较。
从概率分布到数字特征，本质上是一种信息提炼与规律抽象的过程。虽然完整分布包含丰富的随机信息，但在许多实际问题中，期望与方差已经能够帮助我们快速判断不同随机系统的中心水平与波动特点，为决策分析提供重要依据。这种由“全分布”向“关键指标”进行压缩和提取的思想，不仅贯穿概率论学习，也广泛应用于统计分析、经济管理和工程决策。总结本专题核心：期望是概率加权平均，方差是偏差平方的期望；计算依靠公式，应用依靠性质，真正提升则依靠对随机规律本质的理解。 网站开发 职位上海网站设计印刷拆除
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th { background-color: rgba(242, 242, 242, 1) }在现实世界中，大量现象都具有随机性：股票收益存在波动，生产过程存在误差，考试成绩存在差异，随机试验的结果也无法提前确定。然而，随机并不意味着毫无规律。在大量重复观察下，随机变量往往会呈现出稳定的统计特征，而数学期望与方差正是揭示这种规律的核心工具。数学期望从整体角度描述随机变量的平均水平，它回答了“随机结果长期来看趋向于什么位置”；方差则进一步刻画随机变量围绕平均值的波动程度，它回答了“结果是否稳定”。二者共同构成概率论中最基本的数字特征体系。掌握这一专题，需要理解公式背后的概率意义，建立从分布到数字特征、从计算到规律分析的完整思维体系。目录引言：从随机变量到数字特征
一、数学期望：随机变量平均水平的数学描述
二、随机变量函数的数学期望
三、方差：描述随机变量波动程度的核心指标
四、数学期望与方差的重要性质
五、典型题型与复习策略
结语引言：从随机变量到数字特征
概率论的核心任务，是在随机现象中寻找隐藏的确定性规律。前序专题中，我们已经学习了利用分布列、概率密度函数和分布函数对随机变量进行完整刻画的方法。然而，在实际分析与应用中，一个随机变量的完整分布往往包含大量信息，直接研究全部概率结构不仅复杂，而且在许多问题中并非必要。因此，人们希望从概率分布中提取最具有代表性的指标，用少量关键数据描述随机变量的重要特征，这便形成了数字特征理论。
在众多数字特征中，数学期望与方差是最基础、最重要的两个指标。数学期望 \(E(X)\) 从整体角度描述随机变量的平均水平，反映随机结果在大量重复试验下呈现出的长期发展趋势；方差 \(D(X)\) 则进一步刻画随机变量围绕期望值的波动程度，衡量随机结果的稳定性。二者共同构成了分析随机变量的重要框架：期望负责确定“中心位置”，方差负责描述“变化范围”。例如，在投资决策中，两个项目可能具有相同的期望收益，但方差较小的项目通常意味着风险更低、收益更加稳定。因此，数学期望与方差不仅是概率计算的重要工具，也是连接随机模型与实际决策的重要桥梁。一、数学期望：随机变量平均水平的数学描述
1.1 期望的本质——概率加权平均
数学期望是“算术平均”在随机情形下的推广。若随机变量 \(X\) 取值为 \(x_i\)，对应概率为 \(p_i\)，则长期平均结果应按概率加权：离散型： \(E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_i p_i\)
连续型： \(E(X)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx\)本质上，期望是概率测度下的“重心”或“一阶矩”。
1.2 离散型随机变量的期望
定义：设 \(P(X=x_i)=p_i\)，若 \(\sum |x_i|p_i\) 收敛，则
\[E(X)=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i
\]例1：掷一枚均匀骰子，点数 \(X\) 的期望为
\[E(X)=1\cdot\frac16+2\cdot\frac16+\cdots+6\cdot\frac16=3.5
\]例2（几何分布）：某射手命中率为 \(p\)，连续射击直到命中，射击次数 \(X\) 服从几何分布，\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)，其期望
\[E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}p = \frac{1}{p}
\]常用离散分布期望表（需熟记）：分布
参数
期望 \(E(X)\)0-1分布
\(P(X=1)=p\)
\(p\)二项分布
\(X\sim B(n,p)\)
\(np\)泊松分布
\(X\sim P(\lambda)\)
\(\lambda\)几何分布
\(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)
\(1/p\)超几何分布
\(N,M,n\)
\(n\frac{M}{N}\)1.3 连续型随机变量的期望
定义：设密度函数为 \(f(x)\)，若 \(\int |x|f(x)\,dx\infty\)，则
\[E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx
\]例3（均匀分布）：\(X\sim U(a,b)\)，密度 \(f(x)=\frac{1}{b-a}\)，则
\[E(X)=\int_a^b x\cdot\frac{1}{b-a}\,dx = \frac{a+b}{2}
\]例4（指数分布）：\(X\sim \text{Exp}(\lambda)\)，密度 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x0)\)，则
\[E(X)=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{\lambda}
\]常用连续分布期望表：分布
参数
期望 \(E(X)\)均匀分布
\(U(a,b)\)
\(\frac{a+b}{2}\)指数分布
\(\text{Exp}(\lambda)\)
\(\frac{1}{\lambda}\)正态分布
\(N(\mu,\sigma^2)\)
\(\mu\)伽马分布
\(\Gamma(\alpha,\beta)\)
\(\frac{\alpha}{\beta}\)二、随机变量函数的数学期望
2.1 核心公式——无需求函数分布
若 \(Y=g(X)\)，则无需先求 \(Y\) 的分布，可直接计算：
\[E[g(X)]=
\begin{cases}
\displaystyle \sum_i g(x_i)p_i, X\text{ 离散},\\[8pt]
\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x)\,dx, X\text{ 连续}.
\end{cases}
\]2.2 离散型函数期望
例5：设 \(X\) 分布列为\(x\)
-1
0
2\(p\)
0.2
0.5
0.3求 \(E(X^2)\) 和 \(E(e^X)\)。
解：
\[E(X^2)=(-1)^2(0.2)+0^2(0.5)+2^2(0.3)=1.4
\]\[E(e^X)=e^{-1}(0.2)+e^0(0.5)+e^2(0.3)=0.2e^{-1}+0.5+0.3e^2
\]2.3 连续型函数期望
例6：\(X\sim U(0,1)\)，求 \(E(X^2)\)。
\[E(X^2)=\int_0^1 x^2\cdot 1\,dx=\frac13
\]例7：设密度 \(f(x)=2x\ (0x1)\)，求 \(E(1/X)\)。
\[E\left(\frac1X\right)=\int_0^1 \frac1x \cdot 2x\,dx = 2
\]2.4 期望的线性性质
\[E(aX+b)=aE(X)+b,\qquad E\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i\right)=\sum_{i=1}^n a_iE(X_i)
\]注意：线性性质不要求变量独立，这是期望与方差的重要区别。
三、方差：描述随机变量波动程度的核心指标
3.1 从期望到方差
期望相同，波动可能迥异。方差定义为
\[D(X)=E\left[(X-E(X))^2\right]
\]它度量取值围绕均值的平均平方偏离。其算术平方根 \(\sigma=\sqrt{D(X)}\) 称为标准差。
3.2 方差的计算公式
核心变形公式（考研高频）：
\[\boxed{D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2}
\]例8（二项分布）：\(X\sim B(n,p)\)，已知 \(E(X)=np\)，且
\[E(X^2)=np+n(n-1)p^2
\]故
\[D(X)=np+n(n-1)p^2-(np)^2=np(1-p)
\]常用分布方差表：分布
方差 \(D(X)\)0-1分布
\(p(1-p)\)二项分布
\(np(1-p)\)泊松分布
\(\lambda\)几何分布
\(\frac{1-p}{p^2}\)均匀分布 \(U(a,b)\)
\(\frac{(b-a)^2}{12}\)指数分布
\(\frac{1}{\lambda^2}\)正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)
\(\sigma^2\)3.3 计算步骤与例题
步骤：①求 \(E(X)\) → ②求 \(E(X^2)\) → ③代入 \(D(X)=E(X^2)-E^2(X)\)。
例9：设密度 \(f(x)=\frac32x^2\ (-1x1)\)，求 \(D(X)\)。
解：
\[E(X)=\int_{-1}^{1} x\cdot\frac32x^2\,dx=0
\]\[E(X^2)=\int_{-1}^{1} x^2\cdot\frac32x^2\,dx=\frac35
\]故
\[D(X)=\frac35-0=\frac35
\]四、数学期望与方差的重要性质
4.1 期望性质汇总性质
条件\(E(C)=C\)
常数\(E(aX+b)=aE(X)+b\)
任意\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
无需独立\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
\(X,Y\) 相互独立4.2 方差性质汇总性质
条件\(D(C)=0\)
常数\(D(X+C)=D(X)\)
平移不变性\(D(aX)=a^2D(X)\)
缩放\(D(aX+b)=a^2D(X)\)
一般线性变换\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)
\(X,Y\) 相互独立\(D\left(\sum a_iX_i\right)=\sum a_i^2D(X_i)\)
\(X_i\) 相互独立特别注意：方差没有线性可加性，独立条件不可忽视。若 \(X,Y\) 不独立，则 \(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y)\)。
例10：已知 \(E(X)=2,\ D(X)=3\)，求 \(D(3X-5)\)。
\[D(3X-5)=3^2D(X)=9\times3=27
\]例11：\(X,Y\) 独立，\(D(X)=1,\ D(Y)=4\)，求 \(D(2X-3Y+1)\)。
\[D(2X-3Y+1)=4D(X)+9D(Y)=4\times1+9\times4=40
\]5.2 经典例题精析
设随机变量 \(X\) 的概率密度为
\[f(x)=\begin{cases}
ax+b, 0x2,\\
0, \text{其他},
\end{cases}
\]且 \(E(X)=\dfrac{2}{3}\)，求常数 \(a,b\) 及方差 \(D(X)\)。
解:
第一步：利用规范性（总概率为1）
\[\int_0^2 (ax+b)\,dx = \left[\frac{a}{2}x^2 + bx\right]_0^2 = 2a + 2b = 1
\]得
\[a + b = \frac12 \tag{1}
\]第二步：利用期望条件
\[E(X)=\int_0^2 x(ax+b)\,dx = \int_0^2 (a x^2 + b x)\,dx
= \frac{8}{3}a + 2b = \frac{2}{3} \tag{2}
\]第三步：联立求解
由 (1) 得 \(b = \frac12 - a\)，代入 (2)：
\[\frac{8}{3}a + 2\left(\frac12 - a\right) = \frac{2}{3}\\
\frac{8}{3}a + 1 - 2a = \frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}a = -\frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a = -\frac12
\]代回 (1)：
\[b = \frac12 - \left(-\frac12\right) = 1
\]因此密度函数为
\[f(x) = -\frac12 x + 1,\quad 0x2
\]该函数在 \((0,2)\) 上非负（端点处为 \(1\) 和 \(0\)），满足概率密度条件。
第四步：计算 \(E(X^2)\)
\[E(X^2)=\int_0^2 x^2\left(-\frac12 x + 1\right)\,dx
= -\frac12\int_0^2 x^3\,dx + \int_0^2 x^2\,dx
= -\frac12\cdot 4 + \frac{8}{3}
= -2 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3}
\]第五步：计算方差
\[D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2
= \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{2}{9}
\]
例13：\(X\sim N(0,1)\)，求 \(E(X^2)\) 和 \(D(X^2)\)。
解：因 \(X^2\sim \chi^2(1)\)，有 \(E(X^2)=1,\ D(X^2)=2\)。也可利用标准正态四阶矩 \(E(X^4)=3\)，则
\[D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=3-1=2
\]
例14（2022年数三真题）：设随机变量 \(X\sim N(0,4)\)，随机变量 \(Y\sim B\left(3,\frac13\right)\)，且 \(X\) 与 \(Y\) 不相关，则 \(D(X-3Y+1)=\)
解：由 \(X\sim N(0,4)\) 得 \(D(X)=4\)。
由 \(Y\sim B\left(3,\frac13\right)\) 得
\[D(Y)=3\cdot\frac13\cdot\left(1-\frac13\right)=\frac23
\]因 \(X\) 与 \(Y\) 不相关，故
\[D(X-3Y+1)=D(X)+9D(Y)=4+9\cdot\frac23=10
\]
例15（2022年数三真题）：设随机变量序列 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 独立同分布，且 \(X_i\) 的概率密度为
\[f(x)=\begin{cases}
1-|x|, |x|1,\\
0, \text{其他},
\end{cases}
\]则当 \(n\to\infty\) 时，\(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2\) 依概率收敛于（ ）
A. \(\frac18\)\quad B. \(\frac16\)\quad C. \(\frac13\)\quad D. \(\frac12\)
解：由辛钦大数定律，\(\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2\) 依概率收敛于 \(E(X_i^2)\)。
计算
\[E(X_i^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx=\int_{-1}^{1}x^2(1-|x|)\,dx
=2\int_0^1 x^2(1-x)\,dx=\frac16
\]故收敛于 \(\frac16\)，选 B。例16（2021年数三真题）：设随机变量 \(X,Y\) 的数学期望都是 \(2\)，方差分别为 \(1\) 和 \(4\)，相关系数为 \(0.5\)，则根据切比雪夫不等式，\(P\{|X-Y|\geqslant 6\}\leqslant\)
解：令 \(Z=X-Y\)，则
\[E(Z)=E(X)-E(Y)=2-2=0
\]\[D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y)
\]由相关系数 \(\rho_{XY}=0.5\)，\(\text{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=0.5\times1\times2=1\)，故
\[D(Z)=1+4-2\times1=3
\]切比雪夫不等式：\(P\{|Z-E(Z)|\geqslant\varepsilon\}\leqslant \dfrac{D(Z)}{\varepsilon^2}\)，取 \(\varepsilon=6\)，得
\[P\{|X-Y|\geqslant 6\}\leqslant \frac{3}{36}=\frac{1}{12}
\]
例17（2018年数三真题）：设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，且 \(X\sim N(0,1)\)，\(Y\sim N(1,4)\)，则 \(D(XY)=\)
解：因 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，
\[E(XY)=E(X)E(Y)=0\times1=0
\]又
\[E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)
\]其中 \(X\sim N(0,1)\)，\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1\)；
\(Y\sim N(1,4)\)，\(E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2=4+1=5\)。
故 \(E(X^2Y^2)=1\times5=5\)，于是
\[D(XY)=E(X^2Y^2)-[E(XY)]^2=5-0=5
\]
例18（2016年数三真题）：设随机变量 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 相互独立，且均服从区间 \([0,3]\) 上的均匀分布，则 \(E\left(\min_{1\leqslant i\leqslant n} X_i\right)=\)
解：\(X_i\sim U(0,3)\)，其分布函数为
\[F(x)=P(X_i\leqslant x)=\begin{cases}
0, x0,\\
\dfrac{x}{3}, 0\leqslant x\leqslant 3,\\
1, x3.
\end{cases}
\]令 \(M=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\)，则
\[P(Mx)=P(X_1x,X_2x,\cdots,X_nx)=\prod_{i=1}^n P(X_ix)=\left(1-\frac{x}{3}\right)^n,\quad 0x3
\]故 \(M\) 的密度函数为
\[f_M(x)=-\frac{d}{dx}P(Mx)=\frac{n}{3}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{n-1},\quad 0x3
\]于是
\[E(M)=\int_0^3 x\cdot\frac{n}{3}\left(1-\frac{x}{3}\right)^{n-1}dx
=\frac{3}{n+1}
\]
结语
数学期望与方差并不是概率论中的孤立公式，而是从随机变量概率分布中提炼出的核心数字特征，是描述随机规律最重要的两个指标。数学期望刻画随机变量长期变化的平均趋势，回答了“随机结果整体趋向于什么”；方差则衡量随机变量围绕期望值的离散程度，反映了随机结果的稳定性与风险水平。二者共同建立了从随机现象到数量规律的桥梁，使复杂的不确定问题能够通过有限的信息进行分析与比较。
从概率分布到数字特征，本质上是一种信息提炼与规律抽象的过程。虽然完整分布包含丰富的随机信息，但在许多实际问题中，期望与方差已经能够帮助我们快速判断不同随机系统的中心水平与波动特点，为决策分析提供重要依据。这种由“全分布”向“关键指标”进行压缩和提取的思想，不仅贯穿概率论学习，也广泛应用于统计分析、经济管理和工程决策。总结本专题核心：期望是概率加权平均，方差是偏差平方的期望；计算依靠公式，应用依靠性质，真正提升则依靠对随机规律本质的理解。