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洛谷：P15802 [GESP202603 七级] 拆分 - 洛谷
【题目描述】
小 A 想将正整数 \(n\) 拆分成若干个正整数之和，并最大化拆分后的正整数之积。小 A 希望你帮他计算出拆分后正整数之积的最大值。由于答案可能…
【题目来源】
洛谷：P15802 [GESP202603 七级] 拆分 - 洛谷
【题目描述】
小 A 想将正整数 \(n\) 拆分成若干个正整数之和，并最大化拆分后的正整数之积。小 A 希望你帮他计算出拆分后正整数之积的最大值。由于答案可能很大，你只需要求出答案对 \(10^9\) 取模的结果。
形式化地，\(n\) 的拆分是满足 \(a_1+\cdots+a_k=n\) 的若干个正整数 \(a_1,\dots,a_k\)，其中 \(1\leq k\leq n\)。你需要求出 \(n\) 的所有拆分中 \(a_1\times \cdots\times a_k\) 的最大值对 \(10^9\) 取模的结果。
【输入】
第一行，一个正整数 \(t\)，表示数据组数。
对于每组数据：一行，一个整数 \(n\)，表示给定的正整数。
【输出】
对于每组数据：输出一行，一个整数，表示 \(n\) 拆分后正整数之积的最大值对 \(10^9\) 取模的结果。
【输入样例】
3
5
8
100【输出样例】
6
18
755407364【核心思想】问题分析：给定正整数 \(n\)，将其拆分为若干个正整数之和，使得拆分后的乘积最大，结果对 \(10^9\) 取模。这是一个数学贪心 + 快速幂问题，核心在于通过数学分析确定最优拆分策略，避免枚举所有拆分方案。算法选择：数学规律推导：通过均值不等式和函数极值分析，证明拆分出尽可能多的 \(3\) 可使乘积最大
快速幂（Binary Exponentiation）：在 \(O(\log n)\) 时间内计算 \(3^k \bmod 10^9\)关键步骤：小规模特判：\(n 6\) 时直接查表：\(ans[1]=1, ans[2]=2, ans[3]=3, ans[4]=4, ans[5]=6\)
一般情况分析（\(n \geq 6\)）：\(n \bmod 3 = 0\)：全部分为 \(3\)，答案为 \(3^{n/3} \bmod 10^9\)
\(n \bmod 3 = 1\)：将最后一个 \(3+1\) 调整为 \(2+2\)（因为 \(2 \times 2 3 \times 1\)），答案为 \(3^{(n/3)-1} \times 4 \bmod 10^9\)
\(n \bmod 3 = 2\)：分为若干个 \(3\) 和一个 \(2\)，答案为 \(3^{n/3} \times 2 \bmod 10^9\)快速幂计算：\(qmi(a, b)\) 通过二进制分解指数，在 \(O(\log b)\) 时间内计算 \(a^b \bmod 10^9\)时间/空间复杂度：时间复杂度：\(O(t \cdot \log n)\)，每组数据快速幂计算为 \(O(\log n)\)
空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间数学贪心与快速幂的核心思想：最优拆分策略：对于正整数拆分求最大乘积，通过分析函数 \(f(x) = x^{n/x}\) 的极值，可知 \(e \approx 2.718\) 附近最优。在整数范围内，\(3\) 是最接近 \(e\) 的整数，因此尽可能多的拆分为 \(3\) 可使乘积最大
余数调整：当 \(n \bmod 3 = 1\) 时，最后一个 \(3+1\) 不如调整为 \(2+2\)（\(4 3\)），因此少拆一个 \(3\) 改为两个 \(2\)；当 \(n \bmod 3 = 2\) 时，直接保留一个 \(2\)
快速幂优化：将指数 \(b\) 二进制分解，通过平方和乘法在 \(O(\log b)\) 时间内完成幂运算，同时每一步取模防止溢出
取模运算的分配律：\((a \times b) \bmod m = ((a \bmod m) \times (b \bmod m)) \bmod m\)，确保中间结果始终在模数范围内
适用于具有数学规律的最优化拆分问题、大数幂运算取模类问题【解题思路】【算法标签】
普及 #快速幂
【代码详解】
#include bits/stdc++.h
using namespace std;
#define int long long
const int N = 4000005, mod = 1e9;
int t, n, ans[6] = {0, 1, 2, 3, 4, 6}; // 小规模n的答案// 快速幂取模
int qmi(int a, int b)
{int mul = 1;while (b){if (b 1){mul = mul * a % mod;}a = a * a % mod;b = 1;}return mul;
}signed main()
{cin t;while (t--){cin n;if (n 6) // n较小，直接查表{cout ans[n] endl;}else if (n % 3 == 0) // n是3的倍数{cout qmi(3, n / 3) endl; // 全部分成3}else if (n % 3 == 1) // 余数为1{// 将最后一个4分成3+1不如分成2+2，所以是3^(k-1)*4cout (qmi(3, n / 3 - 1) * 4) % mod endl;}else // 余数为2{// 分成若干个3和一个2cout (qmi(3, n / 3) * 2) % mod endl;}}return 0;
}【运行结果】
3
5
6
8
18
100
755407364 如何在工商局网站做企业年报手机软件制作平台
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洛谷：P15802 [GESP202603 七级] 拆分 - 洛谷
【题目描述】
小 A 想将正整数 \(n\) 拆分成若干个正整数之和，并最大化拆分后的正整数之积。小 A 希望你帮他计算出拆分后正整数之积的最大值。由于答案可能…
【题目来源】
洛谷：P15802 [GESP202603 七级] 拆分 - 洛谷
【题目描述】
小 A 想将正整数 \(n\) 拆分成若干个正整数之和，并最大化拆分后的正整数之积。小 A 希望你帮他计算出拆分后正整数之积的最大值。由于答案可能很大，你只需要求出答案对 \(10^9\) 取模的结果。
形式化地，\(n\) 的拆分是满足 \(a_1+\cdots+a_k=n\) 的若干个正整数 \(a_1,\dots,a_k\)，其中 \(1\leq k\leq n\)。你需要求出 \(n\) 的所有拆分中 \(a_1\times \cdots\times a_k\) 的最大值对 \(10^9\) 取模的结果。
【输入】
第一行，一个正整数 \(t\)，表示数据组数。
对于每组数据：一行，一个整数 \(n\)，表示给定的正整数。
【输出】
对于每组数据：输出一行，一个整数，表示 \(n\) 拆分后正整数之积的最大值对 \(10^9\) 取模的结果。
【输入样例】
3
5
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100【输出样例】
6
18
755407364【核心思想】问题分析：给定正整数 \(n\)，将其拆分为若干个正整数之和，使得拆分后的乘积最大，结果对 \(10^9\) 取模。这是一个数学贪心 + 快速幂问题，核心在于通过数学分析确定最优拆分策略，避免枚举所有拆分方案。算法选择：数学规律推导：通过均值不等式和函数极值分析，证明拆分出尽可能多的 \(3\) 可使乘积最大
快速幂（Binary Exponentiation）：在 \(O(\log n)\) 时间内计算 \(3^k \bmod 10^9\)关键步骤：小规模特判：\(n 6\) 时直接查表：\(ans[1]=1, ans[2]=2, ans[3]=3, ans[4]=4, ans[5]=6\)
一般情况分析（\(n \geq 6\)）：\(n \bmod 3 = 0\)：全部分为 \(3\)，答案为 \(3^{n/3} \bmod 10^9\)
\(n \bmod 3 = 1\)：将最后一个 \(3+1\) 调整为 \(2+2\)（因为 \(2 \times 2 3 \times 1\)），答案为 \(3^{(n/3)-1} \times 4 \bmod 10^9\)
\(n \bmod 3 = 2\)：分为若干个 \(3\) 和一个 \(2\)，答案为 \(3^{n/3} \times 2 \bmod 10^9\)快速幂计算：\(qmi(a, b)\) 通过二进制分解指数，在 \(O(\log b)\) 时间内计算 \(a^b \bmod 10^9\)时间/空间复杂度：时间复杂度：\(O(t \cdot \log n)\)，每组数据快速幂计算为 \(O(\log n)\)
空间复杂度：\(O(1)\)，仅使用常数额外空间数学贪心与快速幂的核心思想：最优拆分策略：对于正整数拆分求最大乘积，通过分析函数 \(f(x) = x^{n/x}\) 的极值，可知 \(e \approx 2.718\) 附近最优。在整数范围内，\(3\) 是最接近 \(e\) 的整数，因此尽可能多的拆分为 \(3\) 可使乘积最大
余数调整：当 \(n \bmod 3 = 1\) 时，最后一个 \(3+1\) 不如调整为 \(2+2\)（\(4 3\)），因此少拆一个 \(3\) 改为两个 \(2\)；当 \(n \bmod 3 = 2\) 时，直接保留一个 \(2\)
快速幂优化：将指数 \(b\) 二进制分解，通过平方和乘法在 \(O(\log b)\) 时间内完成幂运算，同时每一步取模防止溢出
取模运算的分配律：\((a \times b) \bmod m = ((a \bmod m) \times (b \bmod m)) \bmod m\)，确保中间结果始终在模数范围内
适用于具有数学规律的最优化拆分问题、大数幂运算取模类问题【解题思路】【算法标签】
普及 #快速幂
【代码详解】
#include bits/stdc++.h
using namespace std;
#define int long long
const int N = 4000005, mod = 1e9;
int t, n, ans[6] = {0, 1, 2, 3, 4, 6}; // 小规模n的答案// 快速幂取模
int qmi(int a, int b)
{int mul = 1;while (b){if (b 1){mul = mul * a % mod;}a = a * a % mod;b = 1;}return mul;
}signed main()
{cin t;while (t--){cin n;if (n 6) // n较小，直接查表{cout ans[n] endl;}else if (n % 3 == 0) // n是3的倍数{cout qmi(3, n / 3) endl; // 全部分成3}else if (n % 3 == 1) // 余数为1{// 将最后一个4分成3+1不如分成2+2，所以是3^(k-1)*4cout (qmi(3, n / 3 - 1) * 4) % mod endl;}else // 余数为2{// 分成若干个3和一个2cout (qmi(3, n / 3) * 2) % mod endl;}}return 0;
}【运行结果】
3
5
6
8
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100
755407364