1 无穷限的反常积分

1.1 定义

设函数$f(x)在区间[a,+\infty )上连续，人去t>a,做定积分{\int }_a^{t}f(x)dx$,在求极限：

​ $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{t}f(x)dx$, (4-1)

这个变上限定积分的算式（4-1）成为函数$f(x)在无限区间[a,+\infty )$上的反常积分，记为${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$,即

​ ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$, (4-$1^{{}^{\prime }}$)

定义(1) 设函数$f(x)在区间[a,+\infty )$上连续，任取$t>a$,如果极限$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上的反常积分，记做${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$。此时也称反常积分${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛；否则就称反常积分${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$发散。

定义(2) 设函数$f(x)在区间(-\infty ,b]$上连续，任取$t<b$,如果极限$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$(-\infty ,b]$上的反常积分，记做${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx$。此时也称反常积分${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx$收敛；否则就称反常积分${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx$发散。

定义(3) 设函数$f(x)在区间(-\infty ,+\infty )$上连续，反常积分${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx$与反常积分${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 之和称为函数$f(x)$在区间$(-\infty ,+\infty )$上的反常积分，记做${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$。如果反常积分${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx$与反常积分${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$均收敛，那么称反常积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$收敛；否则就称反常积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$发散。

1.2 计算公式

由上述公式及微积分基本公式，可得：

设$F(x)为f(x)$的一个原函数，记

​ $F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x),F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)$

则反常积分可表示为：

（1）${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=F(x){|}_a^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-F(a)=F(+\infty )-F(a)$

若$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$不存在，则${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$发散。

（2）${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=F(x){|}_{-\infty }^b=F(b)-\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=F(b)-F(-\infty )$

若$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)$不存在，则${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx$发散。

（3）${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=F(x){|}_{-\infty }^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=F(+\infty )-F(-\infty )$

若$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)与\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)$有一个不存在，则${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$发散。

1.3 例题

例1 求${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx$
$$解：{\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=(-e^{-x}){|}_0^{+\infty }=\underset{x\to +\infty }{\lim }-e^{-x}+1=1$$
例2 求 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}$
$$\begin{gathered} 解：{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}=(\arctan x){|}_{-\infty }^{+\infty } \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x-\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi \end{gathered}$$
例3 计算反常积分${\int }_0^{+\infty }t{e}^{-pt}dt$,其中$p$是常数，且$p>0$
$$\begin{gathered} 解：{\int }_0^{+\infty }t{e}^{-pt}dt=(\int t{e}^{-pt}dt){|}_0^{+\infty } \\ =(-\frac{t{e}^{-pt}}{p}){|}_0^{+\infty }+(\frac{1}{p}\int e^{-pt}dt){|}_0^{+\infty } \\ =(-\frac{1}{p^2}{e}^{-pt}){|}_0^{+\infty }=\frac{1}{p^2} \end{gathered}$$
例4 证明反常积分${\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}(a>0)当p>1$时收敛，当$p\le 1$时发散。
$$\begin{gathered} 当p=1时，{\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}={\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x}=\ln x{|}_a^{+\infty }=+\infty , \\ 当p\ne 1时,{\int }_a^{+\infty }\frac{dx}{x^p}=(\frac{x^{1-p}}{1-p}){|}_a^{+\infty }=\{\begin{array}{l}+\infty ,x<1\\ \frac{a^{1-p}}{p-1},x>1\end{array} \\ 因此当p>1时，该反常积分收敛，当p\le 1时，该反常积分发散。 \end{gathered}$$

2 无界函数的反常积分

2.1 定义

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

瑕点：如果函数$f(x)在点a$的任一邻域内都无界，那么点$a$称为函数$f(x)$的瑕点。（也称无界间断点）

瑕积分：无界函数的反常积分又称瑕积分。

设函数$f(x)在区间(a,b]$上连续，点$a为f(x)$的瑕点，任取$t>a$,做定积分${\int }_t^{b}f(x)dx$,在求极限

​ $\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$ (4-4)

这个对变下限的定积分求极限的算式（4-4）称为函数$f(x)在区间(a,b]$上的反常积分，仍然记做${\int }_a^{b}f(x)dx$,即

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{x\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$

定义(1) 设函数$f(x)在区间(a,b]$上连续，点$a为f(x)$的瑕点，如果极限（4-4）存在，那么称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛，并称次极限为该反常积分的值；如果极限（4-4）不存在，那么称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$发散。

类似地，设函数$f(x)在区间[a,b)$上连续，点$b为f(x)$的瑕点，任取$t<a$,算式

​ $\underset{x\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$ (4-5)

称为函数$f(x)在区间[a,b)$上的反常积分，仍然记做${\int }_a^{b}f(x)dx$,即

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{x\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$

定义(2) 设函数$f(x)在区间[a,b)$上连续，点$b为f(x)$的瑕点，如果极限（4-5）存在，那么称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛，并称次极限为该反常积分的值；如果极限（4-5）不能存在，就称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$发散。

设函数$f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]$上连续，点$c为f(x)$的瑕点。反常积分${\int }_a^{c}f(x)dx$与反常积分${\int }_c^{b}f(x)dx$之和称为函数$f(x)在区间[a,b]$上的反常积分，仍然记做${\int }_a^{b}f(x)dx$,即

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

定义(3) 设函数$f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]$上连续，点$c为f(x)$的瑕点。如果反常积分${\int }_a^{c}f(x)dx$与反常积分${\int }_c^{b}f(x)dx$均收敛，那么称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$收敛，并称反常积分${\int }_a^{c}f(x)dx$的值与反常积分${\int }_c^{b}f(x)dx$的值的和为反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$的值；否则，称反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$发散。

2.2 计算公式

（1）设$x=a为f(x)的瑕点，在(a,b]上,F^{{}^{\prime }}(x)=f(x),若\underset{x\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$存在，那么反常积分

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx=F(b)-F(a^{+})$

（2）设$x=b为f(x)$的瑕点，在$[a,b)上，F^{{}^{\prime }}(x)=f(x),若\underset{t\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$存在，那么反常积分

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=\underset{t\to b^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx-F(a)=F(b^{-})-F(a)$

（3）设$x=c为f(x)的瑕点，在[a,c)即(c,b]上，F^{{}^{\prime }}(x)=f(x),若\underset{t\to c^{-}}{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx及\underset{t\to c^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$存在，则反常积分

​ ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx=F(c^{-})-F(a)+F(b)-F(c^{+})$

2.3 例题

例5 计算 $I={\int }_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)$
$$\begin{gathered} 解：x=a为I的瑕点则 \\ I={\int }_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}{|}_0^a=\underset{x\to a^{-}}{\lim }\arcsin \frac{x}{a}-\arcsin 0=\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

例6 计算${\int }_1^2\frac{dx}{x\ln x}$
$$解：{\int }_1^2\frac{dx}{x\ln x}={\int }_1^2\frac{d(\ln x)}{\ln x}=(\ln |\ln x|){|}_1^2=\ln \ln 2-\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(\ln |\ln x|)=+\infty$$
例7 讨论${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$的收敛性
$$\begin{gathered} 解：{\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx={\int }_{-1}^0\frac{dx}{x^2}+{\int }_0^1\frac{dx}{x^2} \\ =(-\frac{1}{x}){|}_{-1}^0+(-\frac{1}{x}){|}_0^1 \\ (-\frac{1}{x}){|}_{-1}^0=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(-\frac{1}{x})-1=+\infty \\ \therefore {\int }_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx是发散的 \\ \therefore {\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx是发散的 \end{gathered}$$
例8 证明反常积分${\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^q},当0<q<1$时收敛，当$q\ge 1$时发散。
$$\begin{gathered} 证明：当q=1时,{\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^q}={\int }_a^b\frac{dx}{x-a}=(\ln |x-a|){|}_a^b=+\infty \\ 当去q\ne 1时，{\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^q}=[\frac{(x-a{)}^{1-q}}{(1-q)}{]}_a^b=\{\begin{array}{l}+\infty ,q>1\\ \frac{(b-a{)}^{1-q}}{1-q},0<q<1\end{array} \\ \therefore 当0<q<1时，{\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^q}收敛；当q\ge 1时，{\int }_a^b\frac{dx}{(x-a{)}^q}发散。 \end{gathered}$$
例9 求反常积分${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x(x+1{)}^3}}$​
$$\begin{gathered} 解：令x=\frac{1}{t},则dx=-\frac{1}{t^2} \\ {\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{\sqrt{x(x+1{)}^3}}={\int }_{+\infty }^0(-\frac{dt}{t^2\sqrt{\frac{1}{t}(\frac{1}{t}+1{)}^3}}) \\ ={\int }_0^{+\infty }(t+1{)}^{-\frac{3}{2}}dt=[-2\frac{1}{\sqrt{t+1}}]{|}_0^{+\infty } \\ =2 \end{gathered}$$

结语

❓QQ:806797785

⭐️文档笔记地址：https://gitee.com/gaogzhen/math

参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p256-262.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p35.