123.买卖股票的最佳时机III
思路：
1.确定dp数组以及下标的含义
最多可完成两笔交易意味着总共有三种情况：买卖一次，买卖两次，不买卖。
具体到每一天结束总共有 5 种状态：
- 未进行买卖状态；
- 第一次买入状态；
- 第一次卖出状态；
- 第二次买入状态；
- 第二次卖出状态。
所以我们可以定义状态 dp[i][j] ，表示为：第 i 天第 j 种情况（0 <= j <= 4）下，所获取的最大利润。
2.确定递推公式
- 第 0 种状态下显然利润为 0，可以直接赋值为昨天获取的最大利润，即
dp[i][0] = dp[i - 1][0]。 - 第1种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
- 不做任何操作，直接沿用前一天买入状态所得的最大利润：
dp[i][1] = dp[i - 1][1]。 - 第一次买入：
dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]。
- 不做任何操作，直接沿用前一天买入状态所得的最大利润：
- 第2种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
- 不做任何操作，直接沿用前一天卖出状态所得的最大利润：
dp[i][2] = dp[i - 1][2]。 - 第一次卖出：
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]。
- 不做任何操作，直接沿用前一天卖出状态所得的最大利润：
- 第3种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
- 不做任何操作，直接沿用前一天买入状态所得的最大利润：
dp[i][3] = dp[i - 1][3]。 - 第二次买入：
dp[i][3] = dp[i - 1][2] - prices[i]。
- 不做任何操作，直接沿用前一天买入状态所得的最大利润：
- 第4种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
- 不做任何操作，直接沿用前一天卖出状态所得的最大利润：
dp[i][4] = dp[i - 1][4]。 - 第二次卖出：
dp[i][4] = dp[i - 1][3] + prices[i]。
- 不做任何操作，直接沿用前一天卖出状态所得的最大利润：
3.dp数组如何初始化:
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][4] = 0
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0]
第一次卖出的话，可以视作为没有盈利（当天买卖，价格没有变化），即 dp[0][2] = 0。第二次买入的话，就是 dp[0][3] = -prices[0]。同理第二次卖出就是 dp[0][4] = 0。
4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5.举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
size = len(prices)
if size == 0:
return 0
dp = [[0 for _ in range(5)] for _ in range(size)]
dp[0][1] = -prices[0]
dp[0][3] = -prices[0]
for i in range(1, size):
dp[i][0] = dp[i - 1][0]
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])
return dp[- 1][4]
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0:
return 0
dp = [0] * 5
dp[1] = -prices[0]
dp[3] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i])
dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i])
dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i])
dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i])
return dp[4]
188.买卖股票的最佳时机IV
思路：
1.确定dp数组以及下标的含义:dp[i][j] ，表示为：第 i 天第 j 种情况（0 <= j <= 2 * k）下，所获取的最大利润。
最多可完成两笔交易意味着总共有三种情况：买卖一次，买卖两次，不买卖。
具体到每一天结束总共有 2 * k + 1 种状态：
- 未进行买卖状态；
- 第
1次买入状态； - 第
1次卖出状态； - 第
2次买入状态； - 第
2次卖出状态。 - …
- 第
m次买入状态。 - 第
m次卖出状态。
因为买入、卖出为两种状态，干脆我们直接让偶数序号表示买入状态，奇数序号表示卖出状态。
2.确定递推公式
达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i - 1] [0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]
选最大的，所以 dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [0] - prices[i], dp[i - 1] [1]);
同理dp[i] [2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [2]
所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])
3.dp数组如何初始化:
可以很明显看出第一天不做任何操作就是 dp[0][0] = 0，第 m 次买入（j = 2 * m）就是 dp[0][j] = -prices[i]。
第 m 次（j = 2 * m + 1）卖出的话，可以视作为没有盈利（当天买卖，价格没有变化），即 dp[0][j] = 0。
可以推出dp[0] [j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5.举例推导dp数组：
以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0:
return 0
dp = [[0] * (2*k+1) for _ in range(len(prices))]
for j in range(1, 2*k, 2):
dp[0][j] = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
for j in range(0, 2*k-1, 2):
dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i])
dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i])
return dp[-1][2*k]
class Solution:
def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
if len(prices) == 0: return 0
dp = [0] * (2*k + 1)
for i in range(1,2*k,2):
dp[i] = -prices[0]
for i in range(1,len(prices)):
for j in range(1,2*k + 1):
if j % 2:
dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]-prices[i])
else:
dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]+prices[i])
return dp[2*k]
