在强化学习中，智能体需与环境交互采集样本（轨迹、状态 - 动作对）以更新策略。但 “样本分布必须与目标策略分布一致” 的同策略限制，会导致采样效率低下（每次策略更新都需重新采样）。此时，** 重要性采样（Importance Sampling）** 成为突破分布限制、高效复用样本的关键技术。本文将从原理到应用，深入解析这一技术。

一、重要性采样的基本原理：解决分布不匹配的期望估计

假设我们需要计算 ** 目标分布 $p(x) $下函数 **** **** 的期望 **** ****，但由于采样限制（如 **** **** 难以直接采样），只能从提议分布 $q(x)$** 中采集样本 $x$。

核心公式与符号解释

重要性采样通过 “积分变换 + 权重修正”，将对 $p(x)$ 的期望转化为对 $q(x)$ 的期望：

${\mathbb{E}}_{x\sim p}[f(x)]=\int f(x)p(x)dx={\mathbb{E}}_{x\sim q}\left[f(x)\cdot \frac{p(x)}{q(x)}\right]$

• ${\mathbb{E}}_{x\sim p}[\cdot ]$：表示 “样本 $x$ 服从目标分布 $p$ 时，括号内函数的期望”。

• $f(x)$：关于随机变量 $x$ 的函数（在强化学习中，可理解为 “状态 / 轨迹的价值函数” 或 “策略梯度的加权项”）。

• $p(x)$：目标分布的概率密度 / 质量函数（强化学习中，是 “目标策略生成样本的分布”）。

• $q(x)$：提议分布的概率密度 / 质量函数（强化学习中，是 “实际采样策略生成样本的分布”）。

• $\frac{p(x)}{q(x)}$：重要性权重，用于修正 “提议分布 $q$ 与目标分布 $p$ 的差异”，让从 $q$ 采样的样本等价于从 $p$ 采样的 “期望效果”。

二、强化学习中的典型应用：策略梯度的样本复用

强化学习中，** 策略梯度方法（如 REINFORCE）需要计算 “动作对回报的梯度期望”。若用旧策略 ${\pi }_{\text{old}}$的样本（服从 **** **** 的分布 **** ****），估计新策略 ${\pi }_{\text{new}}$** 的梯度（目标分布 $p$ 是 ${\pi }_{\text{new}}$ 的分布），可通过重要性采样实现。

策略梯度中的重要性采样公式与符号解释

以 REINFORCE 算法为例，用旧策略样本估计新策略梯度的形式为：

$\text{梯a˚º¦}\propto {\mathbb{E}}_{(s,a)\sim {\pi }_{\text{old}}}\left[\frac{{\pi }_{\text{new}}(a|s)}{{\pi }_{\text{old}}(a|s)}\cdot Q(s,a)\right]$

• ${\pi }_{\text{old}}$：旧策略（提议分布对应的采样策略，已与环境交互采集样本）。

• ${\pi }_{\text{new}}$：新策略（目标分布对应的待更新策略）。

• $(s,a)$：状态 - 动作对（强化学习中与环境交互的核心样本单元）。

• ${\pi }_{\text{new}}(a|s)$：新策略 ${\pi }_{\text{new}}$ 在状态 $s$ 下选择动作 $a$ 的概率（目标分布的 “动作条件概率”）。

• ${\pi }_{\text{old}}(a|s)$：旧策略 ${\pi }_{\text{old}}$ 在状态 $s$ 下选择动作 $a$ 的概率（提议分布的 “动作条件概率”）。

• $Q(s,a)$：动作价值函数（衡量 “在状态 $s$ 选动作 $a$ 能获得的累积回报”）。

优势：无需新策略与环境交互采样，直接复用旧样本，大幅降低训练的环境交互成本。

三、异策略训练的深度应用：用 “示范策略” 突破同策略限制

同策略要求 “训练策略必须自己与环境交互采样”，效率极低；异策略则允许 “另一个**示范策略 **** ****与环境交互采样”，再通过重要性采样修正分布，训练目标策略 **** **。

1. 权重的简化假设：聚焦 “动作条件概率”

原本对 “整条轨迹 $\tau $” 的重要性权重为 $\frac{p_\theta(\tau)}{p_{\theta’}(\tau)} $（$p_\theta(\tau)$ 是目标策略 $\theta$ 生成轨迹 $\tau$ 的概率，$p_{{\theta }^{\prime }}(\tau )$ 是示范策略 ${\theta }^{\prime }$ 生成 $\tau$ 的概率）。

但实际中，利用 **“状态出现概率与策略弱关联” 的假设 **（即 $p_\theta(s_t) \approx p_{\theta’}(s_t) $，因为状态多由环境主导，与策略选动作的关联较弱，且计算状态绝对概率极困难），将 “轨迹概率” 分解为 **“状态 - 动作对” 的条件概率 **，最终简化为：

$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}$

• $p_{\theta }(a_t|s_t)$：目标策略 $\theta$ 在状态 $s_t$ 下选择动作 $a_t$ 的概率（目标分布的 “动作条件概率”）。

• $p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)$：示范策略 ${\theta }^{\prime }$ 在状态 $s_t$ 下选择动作 $a_t$ 的概率（提议分布的 “动作条件概率”）。

2. 异策略的目标函数与梯度更新

结合**优势函数 **** **（衡量 “在状态 $s_t$ 选动作 $a_t$ 的好坏”，由示范策略 ${\theta }^{\prime }$ 的交互样本估计，如 “累积回报 - 基线”），构造异策略下的目标函数：

$J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}\cdot A^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]$

对该目标函数求梯度，即可用 ${\theta }^{\prime }$ 的样本更新目标策略 $\theta$。

符号补充解释

• $J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )$：异策略下的目标函数（要优化的 “目标策略 $\theta$ 的性能指标”，但样本由示范策略 ${\theta }^{\prime }$ 提供）。

• $(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}$：表示 “状态 - 动作对 $(s_t,a_t)$ 由示范策略 $\pi_{\theta’} $（即 ${\theta }^{\prime }$ 对应的策略）与环境交互采样得到”。

• $A^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)$：优势函数（由示范策略 ${\theta }^{\prime }$ 的交互轨迹估计，输出 “状态 $s_t$ 选动作 $a_t$ 比平均情况好 / 差多少”）。

3. 可行性：计算与估计的便捷性

• 动作条件概率 $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}$：策略通常由神经网络表示，可直接输出 “状态 $s_t$ 下选动作 $a_t$ 的概率”，因此比值易计算。

• 优势函数 $A^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)$：可通过 ${\theta }^{\prime }$ 与环境交互的 “回报轨迹” 估计（如 REINFORCE 用 “累积回报”，A2C 用 “时序差分误差” 或 “广义优势估计（GAE）”）。

四、核心挑战：方差爆炸与改进方向

挑战：分布差异过大导致方差失控

若目标分布 $p$ 与提议分布 $q$ 差异过大（即 $\frac{p(x)}{q(x)}$ 波动剧烈），会导致 $f(x)\cdot \frac{p(x)}{q(x)}$ 的方差急剧增大。

• 表现：少量样本会带来极大偏差（如 “目标分布侧重左侧、提议分布侧重右侧” 时，采样次数不足会使估计结果偏离真实期望），导致训练不稳定甚至崩溃。

改进方向

为缓解 “方差爆炸”，强化学习中常用以下方法：

1. 截断重要性采样：限制重要性权重的最大值，避免个别样本权重过高主导结果。

2. 归一化权重：让所有样本的权重和为 1，减少权重波动。

3. 多步修正与策略平滑：逐步缩小新旧策略（或目标策略与示范策略）的差距，降低分布差异。

总结

重要性采样是强化学习中 “跨分布复用样本、实现高效异策略训练” 的核心技术。它通过 “权重修正” 突破 “同策略必须自采样” 的限制，让旧策略 / 示范策略的样本能服务于新策略的训练。尽管存在 “分布差异过大导致方差爆炸” 的挑战，但结合 “权重简化假设、优势函数、截断 / 归一化技巧”，能在实际中有效支持策略更新，是高效强化学习算法（如 PPO、离线强化学习）的关键基石之一。

（注：文档内容由 人类和AI共创）