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微分概念之介绍

发布时间:2022/8/24 16:45:17

Differential

  • 微分之作用: 通过微分可以描述,当函数自变量的取值发生了足够小的改变时,函数的值是怎样改变的.

  • 微分与导数的关系非常密切, 函数在某一点可微分的充分必要条件为: 函数在这一点可导.

  • 一元微分学中,可导与可微是等价的概念.
    • 可导: 意味着函数在点\(x_{0}\)处的切线的存在斜率.
    • 可微: 意味着函数在点\(x_{0}\)处存在切线.

与导数关系的代数推理

接下来探究的是导数与微分之间存在的某种内在联系.

首先是问常数 \(A=?\)

设函数 \(y=f(x)\) 在某一区间内有定义, \(x_{0}\)\(x_{0}+\Delta x\) 在该区间内,若函数的增量:

\[\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \]

以上可表示为 $$\Delta y= A\Delta x+ o(\Delta x)$$

所以 $$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=A\Delta x+ o(\Delta x)$$

两边同时除以\(\Delta x\): $$\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$

带入极限: $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$

\[\\ \Rightarrow f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} A+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \]

\[\\ \\ \]

\[\because \lim_{\Delta x \to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} 是高阶无穷小除以低阶无穷小的极限 \]

\[\\ \\ \]

\[\therefore f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} A+ 0 \]

\[\\ \\ \]

\[f'(x_{0})= A \]

由此得知, \((y_{1}-y_{0})=f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})\)的意义: 代表函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处形成切线, \((y_{1}-y_{0})=f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})\) 可视为一个切线方程.

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