代码随想录-刷题第五十三天

1143. 最长公共子序列

题目链接：1143. 最长公共子序列

思路：动态规划五步曲：

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列的长度为dp[i][j]。
递推公式：

主要是两种情况：text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

① 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

② 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的，即dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])。
初始化：统一初始为0。

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i - 1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
遍历顺序：从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
举例推导dp数组

以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：

最后红框dp[text1.length()][text2.length()]为最终结果。

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        char[] arr1 = text1.toCharArray();
        char[] arr2 = text2.toCharArray();
        int[][] dp = new int[arr1.length + 1][arr2.length + 1];
        
        for (int i = 1; i <= arr1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= arr2.length; j++) {
                if (arr1[i - 1] == arr2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[arr1.length][arr2.length];
    }
}

1035. 不相交的线

题目链接：1035. 不相交的线

思路：绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，连接相同数字的直线就不会相交。

本题说是求最大的连线个数，其实本质上就是求两个数列最长公共子序列长度。

动态规划分析过程与上一题完全相同。

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[nums1.length][nums2.length];
    }
}

53. 最大子序和

题目链接：53. 最大子序和

思路：动态规划五步曲：

dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
递推公式：dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])

dp[i]只有两个方向可以推出来：

① dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和

② nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的。
初始化：dp[0] = nums[0]
遍历顺序：递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
举例推导dp数组

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.length - 1]！ 而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

那么要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        int res = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            if (dp[i] > res) res = dp[i];
        }
        return res;
    }
}

贪心算法解法代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
            // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
            res = Math.max(res, sum);
            // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到连续和为负数一定是拉低总和
            if (sum <= 0) {
                sum = 0;
            }
        }
        return res;
    }
}