通过例子说明-动态规划

选择>行动>思考，好像是个死循环 -song。

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决问题的数学优化方法，通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它的基本思想是将问题拆分成小的子问题，先求解并保存子问题的解，然后通过这些子问题的解来求解原始问题，避免重复计算，从而提高效率。

最常见的动态规划问题包括最长公共子序列、最短路径、背包问题等。让我们通过一个简单的例子来理解动态规划：

例子：斐波那契数列

斐波那契数列是一个经典的动态规划问题。数列的定义是：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 2）。

现在我们想要计算第 n 个斐波那契数，如果直接按照递归定义来计算，会存在大量的重复计算，效率很低。而动态规划的思想是从底向上逐步计算，并保存中间结果。

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n

    # 初始化一个数组来保存中间结果
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1

    # 从底向上逐步计算
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

    return dp[n]

# 测试
print(fibonacci(5))  # 输出 5

在这个例子中，通过动态规划的方式，我们避免了重复计算，将问题拆解成小的子问题，从而高效地计算出了斐波那契数列的第 n 项。这是动态规划的基本思想，通过保存中间结果，避免重复计算，提高算法效率。

这里可能还有很多朋友不懂，咱们继续通俗一点的说：

当我们解决问题时，有时候问题很大，我们会把它分成一些小问题，解决小问题的过程中，我们会保存一些信息，以便后面解决更大的问题。动态规划就是这样一种策略。

比如，我们想算斐波那契数列的第 n 项，斐波那契数列的规律是：第一个数字是0，第二个数字是1，后面的数字是前两个数字的和。数列的前几项是 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 。

现在，我们要算第 n 项，如果直接算可能会很慢，因为要重复计算很多次相同的数字。动态规划就是为了避免这种重复计算。

我们可以这样做：

从小问题开始，先算出前两个数字（0和1）。
把这两个数字存下来。
然后，计算第三个数字，它是前两个数字的和。存下来。
依次类推，计算第四个、第五个，一直到第 n 个数字。

在这个过程中，我们不是每次都从头算，而是用之前算过的结果，这样就避免了大量的重复计算。

简而言之，动态规划就是将一个大问题拆成一系列小问题，逐步解决这些小问题，并且把中间结果保存下来，避免重复计算，最终得到整个问题的解。

让我们用一个更简单的例子来解释动态规划：

问题：爬楼梯

假设你要爬一个楼梯，每次你只能迈一步或两步。问：爬到楼梯顶端有多少种不同的方式？

现在，我们可以使用动态规划来解决这个问题。

定义子问题： 要爬到第 n 级楼梯，我们可以从第 n-1 级走一步，或者从第 n-2 级走两步。
找出状态转移方程： 令 dp[i] 表示爬到第 i 级楼梯的不同方式数，那么 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
初始化： 对于前两级楼梯，有 dp[0] = 1（不需要爬），dp[1] = 1（一种方式，爬一步）。
递推： 从第三级楼梯开始，使用状态转移方程逐步计算 dp[2]、dp[3]，一直到 dp[n]。
返回结果： 最终结果是 dp[n]，表示爬到楼梯顶端的不同方式数。

看看这个通俗易懂的 Python 代码：

def climbStairs(n):
    # 初始化
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0] = 1
    dp[1] = 1

    # 递推
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

    # 返回结果
    return dp[n]

# 测试
result = climbStairs(4)
print(result)  # 输出 5

这里的 dp[4] 就表示爬到第四级楼梯的不同方式数，结果是5。这个例子简单明了，但也展示了动态规划的基本思想：将大问题拆解成小问题，通过保存中间结果避免重复计算，从而高效解决问题。

再讲一个例子：

想象你站在一个楼梯底部，目标是爬到楼梯顶端。你每次可以迈一步或者迈两步。问题是：爬到楼梯顶端，有多少不同的方式？

解释：

第一步： 如果楼梯只有一级，你只有一种方式，就是迈一步就到了。
第二步： 如果楼梯有两级，你可以选择迈一步两次或者一次迈两步。所以，有两种方式。
第三步： 如果楼梯有三级，你可以从第一级迈两步，也可以从第二级迈一步。这样就把问题拆分成了前两级楼梯的问题。
第四步： 如果楼梯有四级，你可以从第三级迈一步，也可以从第二级迈两步。同样，这又把问题拆分成了前两级楼梯的问题。

这个过程可以一直持续下去。而这就是动态规划的思想：

拆分问题： 将大问题拆分成小问题，先解决小问题的答案。
保存中间结果： 为了避免反复计算，我们保存每一步的答案。

通过这种方式，你可以从楼梯底部一步一步地找到爬到楼梯顶端的不同方式数。

在代码中，我们用一个列表（dp）来保存每一级楼梯的不同方式数。通过迭代计算，最终得到了爬到楼梯顶端的答案。

问题：买糖果

假设你去糖果店，你有一些零钱，而糖果有不同的价格。现在，你想知道用你的零钱有多少种方式可以买到糖果。

定义小问题： 想象你有一些零钱，要买到一块钱的糖果，有几种方式？要买到两块钱的糖果，有几种方式？
找出规律： 如果你知道了买到一块钱和两块钱的方式，你就能推导出买到三块钱的方式。因为可以从买到两块钱的情况下再加一个硬币，或者从买到一块钱的情况下再加两个硬币。
定义状态转移方程： 令 dp[i] 表示用你的零钱买到 i 块钱糖果的不同方式数。那么 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ...。
初始化： 对于买到一块钱的糖果，有 dp[1] = 1 种方式（就是用一块钱买一个）。对于买到两块钱的糖果，有 dp[2] = 2 种方式（可以用两个一块的或一个两块的）。
递推： 从买到三块钱的情况开始，一直递推到你想知道的金额。
返回结果： 最终结果是 dp[你的零钱]，表示用你的零钱能够购买到糖果的不同方式数。